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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/117

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Andererseits folgt leicht die Tatsache:

Satz 43. Wenn der Grad und eine beliebige positive Konstante gegeben ist, so existiert nur eine endliche Anzahl von ganzen algebraischen Zahlen -ten Grades, die nebst allen ihren Konjugierten, absolut genommen, sind.

Beweis: Die ganzzahligen Koeffizienten der Gleichung, der eine solche ganze Zahl genügt, müssen absolut sämtlich unterhalb einer nur von und abhängigen Grenze liegen; sie sind daher ihrer Anzahl nach beschränkt.

§ 18. Sätze über die absolute Größe der Körperdiskriminante.

Wir beweisen die beiden folgenden Sätze:

Satz 44. Die Diskriminante eines Zahlkörpers ist stets verschieden von [Minkowski (1[1], 2[2], 3[3])].

Satz 45. Es gibt nur eine endliche Anzahl von Körpern -ten Grades mit gegebener Diskriminante [Hermite (1[4], 2[5]), Minkowski (3[3])].

Zum Beweise dieser Sätze dient der folgende Hilfssatz:

Hilfssatz 8. Wenn , …, die in Formel (8) definierten reellen Linearformen der Unbestimmten ‚ …, bedeuten, so existiert im Körper stets eine solche von verschiedene ganze Zahl , für welche die absoluten Beträge dieser Formen für , …, den Bedingungen

, , , …, (9)

genügen.

Beweis: Nach Satz 43 kann es nur eine endliche Anzahl von ganzen Zahlen , , , … im Körper geben, welche die Bedingungen

, , …,

erfüllen. Diejenige unter diesen Zahlen , , , …, für welche den kleinsten Wert besitzt, sei , und dieser kleinste Wert selbst werde mit bezeichnet. Sollte es keine solche Zahl geben, so setze man . Fällt nun aus, so ist die Richtigkeit des Hilfssatzes 8 offenbar. Im anderen Falle bestimmen wir eine positive Zahl derart, daß wird. Nach Hilfssatz 7 gibt es dann stets ein System ganzer rationaler Zahlen , …, , die nicht sämtlich Null sind, von der Art, daß

, , …,

und folglich

,  , …,  

wird; dies steht mit der von uns getroffenen Wahl der Zahl im Widerspruch.


  1. [360] Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen. J. Math. 107 (1891).[WS 1]
  2. [360] Théorèmes arithmétiques. Extrait d’une lettre à M. Hermite. Comptes rendus. 92 (1891).
  3. a b [360] Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.
  4. [358] Sur la théorie des formes quadratiques ternaires indéfinies. J. Math. 47 (1854).[WS 2]
  5. [358] Extrait d’une lettre de M. Ch. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d’irrationalités aux quelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d’un degré et d’un discriminant donnés. J. Math. 53 (1857).[WS 3]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Minkowski, Hermann: Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 107 (1891), S. 278–297 GDZ Göttingen
  2. Hermite, Charles(WP): Sur la théorie des formes quadratiques ternaires, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 47 (1854), S. 173–177 GDZ Göttingen
  3. Hermite, Charles(WP): Extrait d’une lettre de M. C. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d’irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d’un degré et d’un discriminant donnés, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 53 (1857), S. S. 182–192 GDZ Göttingen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 100. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/117&oldid=- (Version vom 31.7.2018)