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Schwere, Elektricität und Magnetismus:360

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 346
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Neunter Abschnitt. §. 108.


Handelt es sich dagegen um einen Punkt im Innern der Erde, so berechnen wir nach Gleichung (7) des vorigen Paragraphen





Im einen wie im anderen Falle ist dies in die partielle Differentialgleichung (1) einzuführen. Die Differentiationen nach und treffen nur die Functionen . Nachdem auch diese Differentiationen vorschriftsmässig bewirkt und die Resultate der Rechnung in (1) eingesetzt sind, hat man für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Potenz von multiplicirt ist. Dadurch erhält man für einen äusseren wie für einen inneren Punkt in gleicher Weise die partielle Differentialgleichung


(2)


Eine Function , welche dieser partiellen Differentialgleichung Genüge leistet, wird eine Kugelfunction ten Ranges genannt.

 Um zu einer Entwicklung dieser Function zu gelungen, erinnern wir uns daran, dass eine ganze Function ten Grades von ist, dass also in dem zu bildenden Ausdrucke nur Potenzen mit ganzen, positiven Exponenten auftreten können und überhaupt kein Exponent grösser als . Nun lassen sich aber die Potenzen von und von durch die Cosinus und Sinus der Vielfachen von ausdrücken, und da keine höhere Potenz als die te vorhanden ist, so wird auch höchstens das fache von auftreten.

 Wir setzen deshalb


(3)


und führen diesen Ausdruck in die partielle Differentialgleichung (2) ein. Dadurch ergibt sich eine Reihe, geordnet nach Cosinus und Sinus der Vielfachen von , bis zum fachen, und der Werth