Schwere, Elektricität und Magnetismus:349

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 335
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Zusammenhang mit Ampere’s Gesetz.

Summirung $\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}\,$ über alle von $\varepsilon \,$ verschiedenen Theilchen $\varepsilon '\,$ auszudehnen. Nehmen wir zunächst die Summirung über ein Stromelement vor, so kann auch ${\frac {1}{r}}\,$ vor das Summenzeichen gebracht werden. Für beharrliche (hier: constante) Ströme ist aber $\sum \varepsilon '=0\,$ in jedem Stromelemente. Alle Beiträge zu der zu bildenden Summe sind also Null. Dies gilt für die Zusammenstellung jedes einzelnen Theilchens $\varepsilon \,$ mit den davon verschiedenen Theilchen $\varepsilon '\,$. Folglich ist hier

(3)	$-\sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}=0.$

 Es bleibt nur noch die Summe aller Werthe von $D\,$ übrig für die Combinationen von je zwei bewegten Theilchen. Diese Combinationen zerfallen in drei Gruppen, nemlich:

  erstens: je ein Theilchen des ersten Stromes mit je einem Theilchen des zweiten Stromes;

  zweitens: je zwei Theilchen des ersten Stromes;

  drittens: je zwei Theilchen des zweiten Stromes.

 Diese Gruppen liefern der Reihe nach die Potentiale, welche in §. 96 mit $D_{1}\,,D_{2}\,,D_{3}$ bezeichnet sind.

 Für constante Ströme sind $D_{2}\,$ und $D_{3}\,$ constant. Gehen wir von (1) aus, so ist

(4)	$D_{2}={\frac {1}{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2},$

wenn die Summirung über alle Combinationen von Theilchen des ersten Stromes ausgedehnt wird.

 Da der Leiter von unveränderlicher Gestalt vorausgesetzt wird, so dürfen wir ein mit demselben fest verbundenes Coordinatensystem $x,\,y,\,z$ zu Grunde legen. Dann ist bei einem constanten Strome die Function

${\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}$

nur abhängig von $x,\,y,\,z$ einerseits und $x_{1},\,y_{1},\,z_{1}$ andererseits. Nimmt man zunächst ein einzelnes $\varepsilon \,$ und summirt über alle $\varepsilon '\,$, so ist die Summe eine Function einzig und allein von $x,\,y,\,z$ d. h. von den Coordinaten jenes Theilchens $\varepsilon \,$. Bildet man aber diese Summe für jede Werthen-Combination $x,\,y,\,z$ die überhaupt zu