Schwere, Elektricität und Magnetismus:318

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 304
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Sechster Abschnitt. §. 91.

§. 91. Ampère’s Gesetz.

 Aus der Function $P\,$ lässt sich die Kraft finden, mit der die beiden Stromelemente $ds\,$ und $ds'\,$ auf einander wirken. Wir bezeichnen mit $F\,ds\,ds'\,$ die abstossende Kraft, welche $ds\,$ und $ds'\,$ in der Richtung von $r\,$ auf einander ausüben. Denken wir uns, dass während der unendlich kleinen Zeit $dt\,$ die Entfernung $r\,$ sich um $\delta r\,$ geändert habe, so ist die bei der Verschiebung der Elemente $ds\,$ und $ds'\,$ geleistete Arbeit

$F\,ds\,ds'\,\delta r,$

und die Gesammtarbeit bei der Verschiebung beider geschlossenen Leiter

$\iint F\,ds\,ds'\delta r.\,$

Diese Gesammtarbeit ist gleich der Aenderung von $P\,$. Wir haben also die Gleichung

(1)	$\delta P=\iint F\,ds\,ds'\,\delta r.\,$

Nun berechnet sich aber aus der Gleichung (5) des vorigen Paragraphen

$\delta P=-{\frac {1}{2}}J\,J'\iint ds\,ds'\left\lbrace -{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}\delta r+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\,\delta \,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}\right\rbrace .\,$

Der zweite Bestandtheil auf der rechten Seite ist noch durch Integration nach Theilen umzuformen. Man erhält, indem man unbestimmt integrirt:

$\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\delta \,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}ds'={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \,\delta (r^{2})}{\partial s}}-\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s'}}{\frac {\partial \,\delta (r^{2})}{\partial s}}ds'.\,$

Setzt man die Grenzen ein, so verschwindet der freie Theil, weil die Integration durch den geschlossenen zweiten Leiter erstreckt wird. Man hat also

$\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}{\frac {\partial ^{2}\,\delta \,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}=-\iint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s'}}{\frac {\partial \,\delta \,(r^{2})}{\partial s}}ds\,ds'.$

Wir transformiren weiter. Bei unbestimmter Integration ist