Schwere, Elektricität und Magnetismus:317

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 303
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Zwei lineäre constante Ströme.

$\int {\frac {ds'}{r}}{\frac {\partial \left(r{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)}{\partial s'}}={\frac {1}{r}}\cdot r{\frac {\partial r}{\partial s}}-\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s'}}r{\frac {\partial r}{\partial s}}ds'\,$ $={\frac {\partial r}{\partial s}}+\int {\frac {ds'}{r}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}.$

Setzt man die Grenzen ein, so fällt der vom Integralzeichen freie Theil heraus, da die Integration durch die geschlossene Linie $s'\,$ auszudehnen ist. Folglich erhalten wir

(6)	$P=-J\,J'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}.$

Nun ergibt sich aus dem Ausdrucke für $r\,$ durch Differentiation

${\begin{aligned}dr&={\frac {x-x'}{r}}\left({\frac {\partial x}{\partial s}}ds-{\frac {\partial x'}{\partial s'}}ds'\right)\\&+{\frac {y-y'}{r}}\left({\frac {\partial y}{\partial s}}ds-{\frac {\partial y'}{\partial s'}}ds'\right)\\&+{\frac {z-z'}{r}}\left({\frac {\partial z}{\partial s}}ds-{\frac {\partial z'}{\partial s'}}ds'\right).\\\end{aligned}}$

Andererseits ist $dr={\frac {\partial r}{\partial s}}ds+{\frac {\partial r}{\partial s'}}ds'$. Durch Vergleichung finden wir

${\begin{aligned}&{\frac {x-x'}{r}}\cdot {\frac {\partial x}{\partial s}}+{\frac {y-y'}{r}}\cdot {\frac {\partial y}{\partial s}}+{\frac {z-z'}{r}}\cdot {\frac {\partial z}{\partial s}}={\frac {\partial r}{\partial s}},\\&{\frac {x-x'}{r}}\cdot {\frac {\partial x'}{\partial s'}}+{\frac {y-y'}{r}}\cdot {\frac {\partial y'}{\partial s'}}+{\frac {z-z'}{r}}\cdot {\frac {\partial z'}{\partial s'}}=-{\frac {\partial r}{\partial s'}}.\\\end{aligned}}$

Bezeichnet man mit $\theta \,$ und $\theta '\,$ die Winkel, welche die Richtung der von $(x',\,y',\,z')\,$ nach $(x,\,y,\,z)\,$ führenden Linie $r\,$ mit den Richtungen des wachsenden $s\,$ und des wachsenden $s'\,$ einschliesst, so erkennt man leicht, dass die beiden letzten Gleichungen auch so geschrieben werden können:

(7)	$\cos \theta ={\frac {\partial r}{\partial s}},\quad \cos \theta '=-{\frac {\partial r}{\partial s'}}.$

Folglich geht die Gleichung (6) in die neue Form über:

(8)	$P=J\,J'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}\cos \theta \cos \theta '.$

Die Winkel $\theta \,$ und $\theta '\,$ sind in Fig. 48 bezeichnet.