Schwere, Elektricität und Magnetismus:314

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 300
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Sechster Abschnitt §. 89.

Wir führen dies zunächst in Gleichung (2) ein und erhalten

(5)	$P=-\int dS'(u_{1}i_{1}'+u_{2}i_{2}'+u_{3}i_{3}').$

Die Integration ist über den Raum des ganzen zweiten Leiters auszudehnen.

 In derselben Weise hätte man auch zu dem Ausdrucke gelangen können:

(6)	$P=-\int dS(u_{1}'i_{1}+u_{2}'i_{2}+u_{3}'i_{3}).$

Hier hängen $u_{1}',\ u_{2}',\ u_{3}'\,$ mit den magnetischen Kräften zusammen, die der zweite Strom ausübt, und es sind $i_{1},\ i_{2},\ i_{3}\,$ die Componenten der specifischen Stromintensität in einem Punkte im Innern des ersten Leiters. Die Integration in (6) hat man über den Raum des ersten Leiters auszudehnen.

 Setzt man in (5) für $u_{1},\ u_{2},\ u_{3}\,$ ihre Ausdrücke ein aus (3), so ergibt sich

$P=\int dS\left\lbrace i_{1}'\int {\frac {i_{1}dS}{r}}+i_{2}'\int {\frac {i_{2}dS}{r}}+i_{3}'\int {\frac {i_{3}dS}{r}}\right\rbrace .$

 Dafür lässt sich kürzer schreiben:

(7)	$P=\iint {\frac {dS\cdot dS'}{r}}\lbrace i_{1}\cdot i_{1}'+i_{2}\cdot i_{2}'+i_{3}\cdot i_{3}'\rbrace .$

 Die Bedeutung des Ausdruckes

$i_{1}\cdot i_{1}'+i_{2}\cdot i_{2}'+i_{3}\cdot i_{3}'\,$

ist leicht zu erkennen. Es ist nemlich, wenn i die gesammte specifische Stromintensität in einem Punkte von $dS\,$ bezeichnet, nach §. 54, (9):

$i_{1}=i\cos a,\,$ $i_{2}=i\cos b,\,$ $i_{3}=i\cos c.\,$

Dem entsprechend erhalten wir

$i_{1}'=i'\cos a',\,$ $i_{2}'=i'\cos b',\,$ $i_{3}'=i'\cos c',\,$

wenn $i'\,$ die gesammte specifische Stromintensität in einem Punkte von $dS'\,$ bezeichnet. Demnach ist