Schwere, Elektricität und Magnetismus:274
| Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus | ||
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aussetzen, dass die Linie (die Projection von auf der Kugel) ebenso einfach in sich zurückläuft wie die Linie selbst, dass also, wenn man sie von Anfang bis zu Ende durchläuft, keiner ihrer Punkte mehr als einmal getroffen wird. Ueber die Gestalt der Fläche , welche von der Strombahn begrenzt wird, haben wir keinerlei besondere Voraussetzung gemacht. Wenn nun, wie eben verabredet worden, die Projection auf der Kugel vom Radius 1 eine einfach in sich zurücklaufende Linie ist, so können wir der Fläche eine solche Gestalt geben, dass ihre Projection ein von umschlossenes Stück der Kugeloberfläche einfach bedeckt. Zieht man dann vom Punkte aus durch irgend einen Punkt dieses umschlossenen Stückes der Kugeloberfläche einen Strahl, so wird dieser, gehörig verlängert, die Fläche in einem Punkte, aber auch nur in einem Punkte durchschneiden. Der wachsende Strahl tritt an dieser Stelle von der dem Punkte zugekehrten Seite der Fläche auf die abgekehrte Seite über. Der Theil der Kugeloberfläche, welcher von der Projection der Fläche nicht bedeckt wird, darf als das durch ausgeschlossene Gebiet bezeichnet werden. Zieht man von aus durch irgend einen Punkt des ausgeschlossenen Gebietes einen Strahl, so trifft dieser, wie weit man ihn auch verlängern möge, die Fläche gar nicht.
Wir wählen auf der Fläche irgend einen Punkt und bezeichnen mit die Länge des Strahles, welcher vom Punkte nach hingezogen ist. Mit werde ein auf der Fläche genommenes Flächenelement bezeichnet, auf dessen Begrenzung der Punkt liegt. Lassen wir nun einen von ausgehenden beweglichen Strahl an der ganzen Begrenzung von hingleiten, so beschreibt er eine Kegelfläche. Diese schneidet die Kugeloberfläche vom Radius 1 in einer einfach in sich zurücklaufenden Linie, der Begrenzung eines auf der Kugel liegenden Flächenelementes , welches die Projection von ist.
Die gegen die Fläche im Punkte errichtete positive Normale schliesst mit der Richtung des wachsenden einen Winkel ein, dessen Cosinus
ist, und dieser Cosinus ist positiv oder negativ, je nachdem die dem Punkte abgekehrte Seite der Fläche die positive oder die negative ist.