Schwere, Elektricität und Magnetismus:271

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 257
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Herstellung der Function $V\,$.

und man sieht, dass das Integral den Grenzwerth Null hat für $\,\lim R=\infty$.

 Hiernach bleibt auf der rechten Seite der Gleichung (2) nichts weiter übrig als das Oberflächen-Integral, ausgedehnt über beide Seiten der Fläche $\!S$.

 Wir errichten im Punkte $\!(x,y,z)$ der Fläche $\!S$ die Normale nach beiden Seiten und zählen auf ihr von dem Fusspunkte aus den Abstand $\!p$ positiv nach der einen, negativ nach der andern Seite. Dann ist auf der positiven Seite $\!n=p$, auf der negativen $n=-p\,$. Die Gleichung (2) geht dadurch in folgende über:

${\begin{aligned}4\pi V'&=\int d\sigma \left\lbrace V\,{\frac {\partial U}{\partial p}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial p}}\right\rbrace _{p=+0}\\&-\int d\sigma \left\lbrace V\,{\frac {\partial U}{\partial p}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial p}}\right\rbrace _{p=-0}.\\\end{aligned}}$

 Dafür kann man auch schreiben:

${\begin{aligned}4\pi V'&=\int d\sigma \,{\frac {\partial U}{\partial p}}(V_{+0}-V_{-0})\\&-\int d\sigma \cdot U\left\lbrace \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right\rbrace .\\\end{aligned}}$

 Hier ist das zweite Integral gleich Null in Folge der Gleichung (3) des vorigen Paragraphen. In dem ersten Integrale hat man für $\!V$ die Gleichung (2) des vorigen und für $\!U$ die Gleichung (1) dieses Paragraphen zu beachten. Dadurch ergibt sich schliesslich:

(3)	$4\pi V'=A\int d\sigma \cdot {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial p}}.\,$

§. 71. Fortsetzung.

 Wir stellen noch die Hypothese auf, dass die magnetischen Kräfte, welche von mehreren galvanischen Strömen auf die im Punkte $\!(x,y,z)$ concentrirt gedachte positive magnetische Masseneinheit ausgeübt werden, sich nach dem Satze vom Parallelogramm der Kräfte zusammensetzen. Für einen einzigen Strom folgt daraus unmittelbar, dass eine $\!n$fache Stromintensität auch $\!n$fache Kräfte ausübt. Die Componenten $\!X,\,Y\,Z$ sind also der Stromintensität $J\!$ proportional, und deshalb auch

(1)

$A=k\,J.$