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Schwere, Elektricität und Magnetismus:264

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 250
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Sechster Abschnitt. §. 67.


einmal getroffen werden. Das Flächenstück, welches von der Curve umschlossen wird (Fig. 36), soll ganz in dem Quadranten liegen,
Fig. 36.
in welchem und positiv sind. Wir durchlaufen die Curve im

positiven Sinne, wenn dabei die Tangente in der Richtung des wachsenden Bogens zu der nach innen gezogenen Normale ebenso liegt, wie die Axe der positiven zu der Axe der positiven .

 Es seien und zwei Functionen von und , die innerhalb des von der Curve begrenzten Flächenstückes einwerthig, endlich und stetig variabel vorausgesetzt werden. Wir betrachten das Integral


(1)


ausgedehnt über das von der Curve begrenzte Flächenstück. Dabei bezeichnen und positive Zunahmen der Variabeln. Für den ersten Bestandtheil des Integrals können wir mit der Integration nach beginnen. Wir ziehen die Ordinaten, welche zu den Abscissen und gehören. Zwischen ihnen liegt ein unendlich schmaler Flächenstreifen, welcher ebenso oft in das von der Curve begrenzte Flächengebiet eintritt, wie aus demselben austritt. Wir bezeichnen die Ordinaten der Eintrittsstellen mit



die Ordinaten der Austrittsstellen dagegen mit



und bemerken, dass



Die Bogenelemente, welche der unendlich schmale Flächenstreifen bei seinem Ein- und Austritt auf der Begrenzungscurve abschneidet, seien



Der Cosinus des Winkels, welchen ein solches Bogenelement mit der Richtung der positiven einschliesst, ist positiv an allen