Schwere, Elektricität und Magnetismus:263

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 249
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Die magnetischen Wirkungen des galvanischen Stromes.

punkte zusammenfällt, und die zwischen dem Anfangs- und Endpunkte keine einander schneidende oder deckende Bestandtheile besitzt. Im Punkte $(x,\,y,\,z)$, der irgendwo ausserhalb des Leiters liegt, sei die positive Einheit der magnetischen Masse concentrirt. Der galvanische Strom übt auf sie eine magnetische Kraft, deren Componenten parallel den Coordinatenaxen mit $X,\,Y,\,Z$ bezeichnet werden sollen. Nach der aufgestellten Hypothese genügen diese Componenten den partiellen Differentialgleichungen:

(1)	${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0,$

(2)	${\frac {\partial Y}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial y}}=0,$ ${\frac {\partial Z}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial z}}=0,$ ${\frac {\partial X}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}=0.$

 In Folge der Gleichungen (2) ist

$X\,dx+Y\,dy+Z\,dz$

ein vollständiges Differential, also gibt es eine Function $V\!$ von $x,\,y,\,z$, die so beschaffen ist, dass überall ausserhalb des galvanischen Stromes

(3)	$X={\frac {\partial V}{\partial x}},\quad Y={\frac {\partial V}{\partial y}},\quad Z={\frac {\partial V}{\partial z}}.\,$

 Erstrecken wir nun das Integral

(4)	$\int (X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)$

durch eine im endlichen Gebiete verlaufende Curve, deren Endpunkt mit dem Anfangspunkte zusammenfällt und deren übrige Punkte bei einem einfachen Umlauf sämmtlich nur einmal getroffen werden. Um über den Werth dieses Integrals ins Klare zu kommen, ist es wünschenswerth, einen Hülfssatz vorauszuschicken.

§. 67. Hülfssatz aus der Analysis.

 Wir zeichnen in dem endlichen Gebiete der $xy\;$Ebene eine Curve, deren Endpunkt und Anfangspunkt zusammenfallen und deren übrige Punkte bei einem einfachen Umlauf sämmtlich nur