Schwere, Elektricität und Magnetismus:247

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 233
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Die Scheidung findet nur in einer unendlich dünnen Schicht statt.

$\int k(\Xi ^{2}+\mathrm {H} ^{2}+\mathrm {Z^{2}} )\;dS$

bleibt deshalb nur ein Integrationsgebiet übrig, welches unendlich klein ist im Vergleich zu dem Raume, über welchen das Integral (2) zu erstrecken ist. Daraus folgt, dass die Ungleichung (3) nicht anders erfüllt werden kann, als wenn der Werth, welchen $\Xi ^{2}+\mathrm {H} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\,$ in der Grenzschicht besitzt, unendlich gross ist im Vergleich zu $i^{2}\,$. Für diese Schicht gehen demnach die Gleichungen (2) des vorigen Paragraphen in folgende über:

(4)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=-\Xi ,$ ${\frac {\partial V}{\partial y}}=-\mathrm {H} ,$ ${\frac {\partial V}{\partial y}}=-\mathrm {Z} .$

 In irgend einem Punkte der Fläche, welche die beiden heterogenen Leiterbestandtheile trennt, errichten wir nach beiden Seiten die Normale und zählen auf derselben die von dem Fusspunkte aus genommenen Abstände $p\,$ nach der einen Seite positiv, nach der anderen negativ. Auf der negativen und auf der positiven Normale wahlen wir je einen Punkt unendlich nahe an der Trennungsfläche. Der erste habe die Coordinaten $x,\ y,\ z,$ dann hat der andere die Coordinaten $x+{\frac {\partial x}{\partial p}}\,dp,\ y+{\frac {\partial y}{\partial p}}\,dp,\ z+{\frac {\partial z}{\partial p}}\,dp,$, und es ist $dp\,$ ihr Abstand von einander. Multipliciren wir auf beiden Seiten der Gleichungen (4) resp. mit ${\frac {\partial x}{\partial p}}\,dp,\ {\frac {\partial y}{\partial p}}\,dp,\ {\frac {\partial z}{\partial p}}\,dp$ und addiren, so ergibt sich

(5)	$V_{+0}-V_{-0}=-\left(\Xi {\frac {\partial x}{\partial p}}+\mathrm {H} {\frac {\partial y}{\partial p}}+\mathrm {Z} {\frac {\partial z}{\partial p}}\right)dp.$

Dabei sind mit $V_{-0}\,$ und $V_{+0}\,$ die Werthe der Function $V\,$ in jenen beiden der Trennungsfläche unendlich nahe gelegenen Punkten bezeichnet. Die Differenz dieser Werthe ist endlich und für jeden Punkt der Trennungsfläche bekannt, da $\Xi ,\ \mathrm {H} ,\ \mathrm {Z}$ überall in der unendlich dünnen Grenzschicht gegeben sind. Hier trifft also die Voraussetzung des §. 58 zu, dass die Differenz der Werthe von $V\,$ für je zwei Punkte gegeben ist, welche unendlich nahe an einander auf entgegengesetzten Seiten der Unstetigkeitsfläche liegen. Ausserhalb der Grenzschicht ändert die Function $V\,$ in dem übrigen