Schwere, Elektricität und Magnetismus:246

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Fünfter Abschnitt. §. 60.

bewegten Elektricität geleistete Arbeit, so ist der Ausdruck (6) nichts anderes als ${\frac {dA}{dt}}$. Wir haben also:

(7)	$\int dS\cdot w\;i^{2}={\frac {dA}{dt}}.\,$

§. 60. Besonderer Fall: Die Scheidung findet nur in einer unendlich dünnen Schicht statt.

 Es soll nun der besondere Fall behandelt werden, dass die elektromotorischen Kräfte $\varepsilon \Xi ,\ \varepsilon \mathrm {H} ,\ \varepsilon \mathrm {Z}$ nur in einer unendlich dünnen Schicht auftreten, z. B. an der Berührungsfläche von zwei heterogenen Bestandtheilen des Leiters. In diesem Falle lässt sich die Bedingung, der $V\,$ im Innern des Leitersystems genügen muss, noch transformiren. Diese Bedingung lautet so, dass das Integral

(1)	$\int k\left\lbrace \left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right)^{2}+\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right)^{2}+\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)^{2}\right\rbrace dS,$

über das ganze Leitersystem ausgedehnt, ein Minimum sein muss, und wenn dieselbe erfüllt ist, so hat das Integral (1) den Werth:

(2)	$\int dS\cdot w\,i^{2}.$

 Es gibt nun zwar unendlich viele Functionen $V\,$, welche die Bedingung erfüllen. Aber je zwei von ihnen haben überall im Innern des Leiters eine constante Differenz. In Folge dessen bringen sie alle einen und denselben Minimalwerth (2) des Integrals (1) zu Stande. Von diesem Minimalwerthe wird man einen abweichenden Werth erhalten, wenn man für ${\frac {\partial V}{\partial x}},\ {\frac {\partial V}{\partial y}},\ {\frac {\partial V}{\partial z}}$ überall Null setzt. Da aber nur ein Minimalwerth des Integrals (1) vorhanden ist, so muss jeder abweichende Werth grösser ausfallen als der wahre Minimalwerth (2). D. h. wir haben die Ungleichung:

(3)	$\int k(\Xi ^{2}+\mathrm {H} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2})dS>\int dS\cdot w\,i^{2}.$

 Nun sind aber nach der Voraussetzung die Componenten $\Xi ,\ \mathrm {H} ,\ \mathrm {Z}$ nur in einer unendlich dünnen Schicht von Null verschieden. Aus der linken Seite von (3) fallen also alle Beiträge heraus, welche zu Raumelementen ausserhalb jener Schicht gehören. Für das Integral