Schwere, Elektricität und Magnetismus:216

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 202
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Vierter Abschnitt. §. 50.

findet man, dass $\chi _{12}(\zeta )\!$ und $\chi _{21}(\zeta )\!$ nicht unendlich werden können für $\zeta \geq 1\!$. Für $\eta \geq 1\!$ hat man aber $\infty >x\geq a\!$ und für $\zeta \geq 1\!$ ist $c-b\geq x>-\infty \!$. Man darf also das Gültigkeitsgebiet der Ausdrücke für $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$ einerseits und für $\varphi _{12}(\eta )\!$ und $\varphi _{21}(\eta )\!$ andererseits erweitern. Für jene darf der Punkt $(x,\,0,\,0)$, der anfänglich zwischen beiden Kugeln lag, durch die zweite Kugel hindurch beliebig weit auf der Axe der positiven $x\!$ fortrücken, ohne dass die Ausdrücke (23) und (31) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich werden. Für diese darf der Punkt $(x,\,0,\,0)$ aus seinem anfänglichen Gebiete durch die erste Kugel hindurch in der Richtung der negativen $x\!$ beliebig weit verschoben werden, ohne dass die Ausdrücke (26) und (30) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich grosse Werthe geben. Da nun aber die vier Functionen nur innerhalb der einen oder der anderen Kugel unendlich werden können, so liegen die Unstetigkeitspunkte von $\varphi _{11}(\eta )\!$ und von $\varphi _{22}(\eta )\!$ innerhalb der ersten Kugel und die Unstetigkeitspunkte von $\varphi _{12}(\eta )\!$ und von $\varphi _{21}(\eta )\!$ innerhalb der zweiten Kugel. Beachtet man noch, dass die Ausdrücke für $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\varphi _{12}(\eta )\!$ mit dem Factor $g\!$, die Ausdrücke für $\varphi _{21}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$ mit dem Factor $h\!$ behaftet sind, und erinnert sich der Bemerkung am Schlusse des §. 48, so findet sich, dass für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln

(4)	$V_{1}'=\varphi _{11}(\eta ),\,$

(5)	$V_{2}'=\varphi _{12}(\eta ),\,$

(6)	$V_{3}'=\varphi _{21}(\eta ),\,$

(7)	$V_{4}'=\varphi _{22}(\eta ).\,$

Die Gleichungen (4) und (7) gelten auch noch für $x>c-b\!$, und die Gleichungen (5) und (6) für $x<a\!$. Danach hat man ein Mittel, die Constanten zu bestimmen, welche die Lage und die elektrische Ladung jedes Unstetigkeitspunktes angeben. Man hat nur in den Gleichungen (23), (26), (30), (31) des vorigen Paragraphen die Grösse $\eta \!$ zu ersetzen durch ${\frac {x}{a}}\!$ und hierauf die Nenner mit denen der entsprechenden Ausdrücke in den Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen in Uebereinstimmung zu bringen. Dann lassen die Werthe von $x_{k}\!$ und $m_{k}\!$ sich ohne weiteres ablesen. Man erhält