Schwere, Elektricität und Magnetismus:164

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 150
<< Zurück	Vorwärts >>
fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

 

Zweiter Abschnitt. §. 35.

 Mit Hülfe dieses Satzes ist nun leicht zu beweisen, dass für jede Gestalt des Raumes $S\!$ eine und nur eine Function $U\!$ existirt, welche die von Green aufgestellten charakteristischen Eigenschaften besitzt. Wir setzen

(15)	$U=U_{1}+{\frac {1}{r}},$

wobei $r\!$ den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)$ von dem inneren Unstetigkeitspunkte $(x',\,y',\,z')$ der Function $U\!$ bezeichnet. Dann hat man $U_{1}\!$ in der Oberfläche gleich $-{\frac {1}{r}}$ zu nehmen und diese Function ins Innere des Raumes $S\!$ endlich und stetig variabel so fortzusetzen, dass

${\frac {\partial ^{2}U_{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U_{1}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U_{1}}{\partial z^{2}}}=0.$

Das kann nach dem Satze von Dirichlet immer in einer und nur in einer Weise geschehen. Da nun ${\frac {1}{r}}$ der Gleichung von Laplace ebenfalls genügt, so ist die in (15) ausgedrückte Function $U\!$ in der That die von Green verlangte. Sie ist Null in der Oberfläche von $S\!$, sie ist im Innern überall endlich und stetig variabel ausser im Punkte $(x',\,y',\,z'),$ wo sie unendlich wird wie der reciproke Werth des Abstandes, und genügt im Innern von $S\!$ der Gleichung von Laplace.*)^[1]

§. 35. Eine Function $V\!$, die der Gleichung von Laplace genügt, hat weder Maximum noch Minimum.

 Wir wollen noch zeigen, dass eine endliche und stetige Function $V\!$ in keinem Theile des Raumes, wo sie die Gleichung von Laplace erfüllt, ein Maximum oder ein Minimum haben kann.

 Die Function $V\!$ und die Function $\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$ genügen beide der Gleichung von Laplace. Nach dem Satze von Green ist also

(1)	$\int \left\lbrace \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right){\frac {\partial V}{\partial n}}-V{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial n}}\right\rbrace d\sigma =0,$

---

1. *) Man vergleiche die Abhandlung von Dirichlet: Sur un moyen général de vérifier l'expression du potentiel relatif à une masse quelconque, homogène ou hétérogène, (Crelle. Journal, Bd. 32. S. 80.)