Schwere, Elektricität und Magnetismus:163

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 149
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Eindeutige Existenz der Function $U\!$. Dirichlet’s Princip.

Diese Gleichung sagt aber aus, dass, wenn $\Omega (v)\!$ ein Minimum ist, die ersten Derivirten von $v\!$ im Innern des Raumes $S\!$ nicht unstetig sind.

 Es fragt sich noch, ob ausser der einen Function $u=v\!$, welche das Integral $\Omega (u)\!$ zu einem Minimum macht, noch eine andere $u=v+s\!$ dieselbe Eigenschaft besitzt. Unter $s\!$ soll hier wieder eine Function verstanden werden, welche in der Oberfläche von $S\!$ den Werth Null hat und im Innern derselben Bedingung genügt wie die Functionen $u\!$. Nun ist $\Omega (v+s)\!$ ein Minimum, wenn für eine Constante $h\!$, die unendlich nahe an 1 heranrückt, die Bedingung erfüllt ist:

(11)	$\Omega (v+s)\leq \Omega (v+hs).$

 Wir haben nach den Gleichungen (4) und (5)

$\Omega (v+hs)=\Omega (v)+h^{2}\Omega (s),\!$

und wenn man hierin $h=1\!$ setzt:

$\Omega (v+s)=\Omega (v)+\Omega (s).\!$

Dadurch geht die Bedingung (11) in folgende über

(12)	$\Omega (s)\leq h^{2}\Omega (s)$

Da man aber die Constante $h^{2}\!$, die unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen darf, so kann der Bedingung (12) nur dadurch genügt werden, dass man setzt:

(13)	$\Omega (s)=0.\!$

Bei der eigenthümlichen Form des Integrals $\Omega (s)\!$ kann diese Gleichung nur dann zu Stande kommen, wenn im Innern des Raumes $S\!$ überall

(14)	${\frac {\partial s}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial s}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial s}{\partial z}}=0,$

d. h. $s={\text{const.}}\!$ ist. Der constante Werth von $s\!$ muss aber Null sein, weil in der Oberfläche $s=0\!$ ist.

 Von allen den Functionen $u\!$, welche die in der Oberfläche des Raumes $S\!$ gegebene Function $v\!$ ins Innere stetig fortsetzen, gibt es also eine und nur eine, die das Integral (2) zu einem Minimum macht. Diese Function und ihre ersten Derivirten sind im Innern von $S\!$ überall endlich und stetig variabel, und sie selbst erfüllt die partielle Differentialgleichung (8).