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Schwere, Elektricität und Magnetismus:163

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 149
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Eindeutige Existenz der Function . Dirichlet’s Princip.


Diese Gleichung sagt aber aus, dass, wenn ein Minimum ist, die ersten Derivirten von im Innern des Raumes nicht unstetig sind.

 Es fragt sich noch, ob ausser der einen Function , welche das Integral zu einem Minimum macht, noch eine andere dieselbe Eigenschaft besitzt. Unter soll hier wieder eine Function verstanden werden, welche in der Oberfläche von den Werth Null hat und im Innern derselben Bedingung genügt wie die Functionen . Nun ist ein Minimum, wenn für eine Constante , die unendlich nahe an 1 heranrückt, die Bedingung erfüllt ist:


(11)


 Wir haben nach den Gleichungen (4) und (5)



und wenn man hierin setzt:



Dadurch geht die Bedingung (11) in folgende über


(12)


Da man aber die Constante , die unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen darf, so kann der Bedingung (12) nur dadurch genügt werden, dass man setzt:


(13)


Bei der eigenthümlichen Form des Integrals kann diese Gleichung nur dann zu Stande kommen, wenn im Innern des Raumes überall


(14)


d. h. ist. Der constante Werth von muss aber Null sein, weil in der Oberfläche ist.

 Von allen den Functionen , welche die in der Oberfläche des Raumes gegebene Function ins Innere stetig fortsetzen, gibt es also eine und nur eine, die das Integral (2) zu einem Minimum macht. Diese Function und ihre ersten Derivirten sind im Innern von überall endlich und stetig variabel, und sie selbst erfüllt die partielle Differentialgleichung (8).