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Schwere, Elektricität und Magnetismus:151

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 137
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Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.


 Setzt man dies in Gleichung (4) ein, so erhält man


(6)


und es gilt das obere oder das untere Zeichen, je nachdem positiv oder negativ ist.

 Es fragt sich, welchen Werth annimmt für . Dies ist leicht vorauszusagen, wenn man daran denkt, dass der Punkt auf der Polaraxe liegt . Für rückt er also in den Pol der Kugeloberfläche, und für diesen ist und beliebig. Es muss also dann in den Werth übergehen, den für annimmt, und dieser Werth muss von unabhängig sein. Wir wollen zeigen, dass das wirklich aus der Gleichung (6) sich ergibt.

 Wir setzen zur Abkürzung



Dann ist der Mittelwerth von allen den Werthen, welche die Function auf dem Parallelkreis von der Poldistanz annimmt. Bei dieser abgekürzten Schreibweise geht die Gleichung (6) in folgende über:



 Betrachten wir zunächst das unbestimmte Integral, so gibt die Integration nach Theilen:



 Geht man also zu der Integration zwischen den vorgeschriebenen Grenzen und über, so findet sich