Schwere, Elektricität und Magnetismus:110

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 25.

Diese Gleichung drückt aus, dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der Oberfläche eines Ellipsoids liegt, welches mit dem gegebenen den Mittelpunkt und die Lage der Hauptaxen gemein hat. Die Oberfläche des gegebenen Ellipsoids und die Fläche (3) schneiden die Coordinaten-Ebenen in je zwei Ellipsen mit gemeinschaftlichen Brennpunkten. Solche Ellipsen heissen confocal, und die in Rede stehenden Ellipsoide werden ebenfalls confocal genannt.

 Die Componenten der Anziehung auf einen inneren Punkt sind:

(4)

$X={\frac {\partial V}{\partial x}}=-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}},$ $Y={\frac {\partial V}{\partial y}}=-2\pi \rho y\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(b^{2}+s)}},$ $Z={\frac {\partial V}{\partial z}}=-2\pi \rho z\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(c^{2}+s)}}.$

 Setzen wir $s=a^{2}\,s_{1}\,$, so ergibt sich

(5)

$X=-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds_{1}}{(1+s_{1}){\sqrt {(1+s_{1})\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}s_{1}\right)\left(1+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}s_{1}\right)}}}},$ $Y=-2\pi \rho y\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds_{1}}{\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}+s_{1}\right){\sqrt {\left(1+s_{1}\right)\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}s_{1}\right)\left(1+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}s_{1}\right)}}}},$ $Z=-2\pi \rho z\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds_{1}}{\left({\frac {c^{2}}{a^{2}}}+s_{1}\right){\sqrt {\left(1+s_{1}\right)\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}s_{1}\right)\left(1+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}s_{1}\right)}}}}.$

 Diese Ausdrücke bleiben dieselben, wenn die Verhältnisse ${\frac {b}{a}}$ und ${\frac {c}{a}}$ constant genommen werden. Sie sind von der Grösse der Halbaxen unabhängig.

 Zwei ähnliche Ellipsoide von derselben constanten Dichtigkeit, welche den Mittelpunkt und die Lage der Hauptaxen gemein haben, üben demnach auf einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ gleiche Anziehung, wenn er im Innern oder auf der