Schwere, Elektricität und Magnetismus:109

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Anziehung des Ellipsoids.

§. 25. Fortsetzung: Anziehung des Ellipsoids.

 Wir suchen die Gesetze der Anziehung auf, wie sie aus der Potentialfunction des Ellipsoids sich ergeben. Die Gesammtmasse $M\,$ des Ellipsoids wird ausgedrückt:

$M={\frac {4}{3}}\,abc\,\pi \,\rho .$

Demnach ist die Potentialfunction

(1)	$V={\frac {3}{4}}M\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+s}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+s}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+s}}\right)}{\sqrt {(a^{2}+s)\,(b^{2}+s)\,(c^{2}+s)}}}ds,$

wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids liegt. Für einen äusseren Punkt muss die untere Integrationsgrenze nicht $0\,$, sondern $\sigma \,$ sein. Man kann aber auch in diesem Falle die untere Grenze $0\,$ wiederherstellen, wenn man unter dem Integral statt $s\,$ überall $s+\sigma \,$ schreibt. Setzt man dann noch zur Abkürzung

$a^{2}+\sigma =a_{1}^{2},\quad b^{2}+\sigma =b_{1}^{2},\quad c^{2}+\sigma =c_{1}^{2},$

so ergibt sich für einen äusseren Punkt $(x,\,y,\,z)$

(2)	$V={\frac {3}{4}}M\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {x^{2}}{a_{1}^{2}+s}}-{\frac {y^{2}}{b_{1}^{2}+s}}-{\frac {z^{2}}{c_{1}^{2}+s}}\right)}{\sqrt {(a_{1}^{2}+s)\,(b_{1}^{2}+s)\,(c_{1}^{2}+s)}}}ds.$

Darin spricht sich der Satz aus:

 Das Ellipsoid von constanter Dichtigkeit übt auf einen äusseren Punkt $(x,\,y,\,z)$ dieselbe Anziehung aus, als ob seine Gesammtmasse gleichförmig über das confocale Ellipsoid vertheilt wäre, auf dessen Oberfläche der Punkt $(x,\,y,\,z)$ liegt.*)^[1]

 Beachtet man nemlich die Gleichungen, durch welche $a_{1}^{2},\,b_{1}^{2},\,c_{1}^{2}$ definirt sind, so geht die Gleichung $F(\sigma )=0\,$ in folgende über:

(3)	${\frac {x^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b_{1}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c_{1}^{2}}}-1=0.$

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1. *) Ueber diesen Satz vergleiche man die Abhandlung von Gauss: Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum. In dem Artikel 1 findet man auch die Geschichte des Problems.