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Schwere, Elektricität und Magnetismus:107

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 93
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Potentialfunction eines homogenen Ellipsoids.


fernten Punkt der Quotient innerhalb der Integrationsgrenzen[1] nicht unendlich gross. Der Factor ist Null und die Integrationsgrenzen fallen zusammen. Folglich ist in unendlicher Entfernung.

 Die Ausdrücke und finden sich, wenn man in (4) und in (5) und , resp. und vertauscht mit und . Daher sind auch und überall endlich und stetig variabel und in unendlicher Entfernung gleich Null.

 Aus (4) ergibt sich durch nochmalige Differentiation


(6)


Dies gilt für einen Punkt im Innern des Ellipsoids. Aus (5) erhält man dagegen


(7)


Dies gilt für einen Punkt ausserhalb des Ellipsoids. Beide Ausdrücke sind endlich und ändern sich stetig, wenn nur der Punkt im einen Falle innerhalb, im andern Falle ausserhalb des Ellipsoids bleibt. Lässt man ihn von der einen und von anderen Seite in die Oberfläche hineinrücken, so geben die Ausdrücke (6) und (7) verschiedene Werthe. Nur für sind sie einander gleich.

 Die Ausdrücke und ergeben sich aus (6) und (7) durch Buchstaben-Vertauschung. Wir bilden die Summe der zweiten Derivirten und erhalten fur einen inneren Punkt



Es findet sich aber



folglich ist


  1. WS: Fehler korrigiert. Im Original: Intetegrationsgrenzen.