Schwere, Elektricität und Magnetismus:106

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abshnitt §. 24.

endliche Entfernung rückt. Denn wenn irgend eine der Coordinaten $(x,\,y,\,z)$ unendlich gross wird, so wird die grösste Wurzel $\sigma \,$ der Gleichung $F(s)=0\,$ ebenfalls unendlich gross. Dann hat in (3) die letzte Klammer unter dem Integral den Werth Null. Der Factor ${\frac {1}{D}}\,$ ist auch gleich Null, und die Grenzen der Integration fallen zusammen. Folglich wird $V=0\,$, wenn der angezogene Punkt in unendlicher Entfernung liegt.

 Für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Oberfläche des Ellipsoids ist $\sigma =0\,$. Die Integrale (2) und (3) sind dann also einander gleich. Folglich erleidet $V\,$ auch dann eine stetige Aenderung, wenn der angezogene Punkt durch die Oberfläche des Ellipsoids hindurchgeht.

 Danach ist bewiesen, dass die Function $V\,$ im ganzen unendlichen Raume endlich und stetig variabel ist, und dass sie den Werth Null hat in unendlicher Entfernung.

 Wir untersuchen die ersten Derivirten. Aus (2) findet sich

(4)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}.$

Dies gilt für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids. Aus (3) ergibt sich dagegen

${\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial x}}=&-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}\\&-\pi \rho \cdot {\frac {1}{\Delta }}\cdot {\frac {2x}{(a^{2}+\sigma )l}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+\sigma }}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+\sigma }}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+\sigma }}\right).\\\end{aligned}}$

Da nun ${\frac {1}{\Delta }}$ und ${\frac {2x}{(a^{2}+\sigma )l}}$ nicht unendlich werden können und die letzte Klammer gleich Null ist, so erhält man

(5)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}.$

Dies gilt für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids. Liegt der Punkt in der Oberfläche, so ist in (5) die Grösse $\sigma =0\,$ zu setzen, und die Integrale (4) und (5) sind einander gleich. Folglich ist ${\frac {\partial V}{\partial x}}$ überall endlich und stetig variabel. Dies gilt auch in unendlicher Entfernung. Denn es ist für einen unendlich ent-