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Schwere, Elektricität und Magnetismus:095

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 81
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ist durch die Kennzeichen (§. 18) eindeutig bestimmt.


(1)


Denn diese Function genügt den aufgestellten Bedingungen. Sie ist gleich Null in der Begrenzung des Raumes , d. h. in unendlicher Entfernung. Sie ist überall endlich und stetig, ausser im Punkte , wo sie unendlich wird wie . Sie erfüllt im ganzen unendlichen Raume die partielle Differentialgleichung



 Als Begrenzung des Raumes können wir eine Kugelfläche nehmen, deren Mittelpunkt im Punkte liegt und deren Radius unendlich gross ist. Der Satz des vorigen Paragraphen lautet dann:


(2)


Das dreifache Integral ist über den ganzen unendlichen Raum auszudehnen, das Oberflächen-Integral über die Kugel vom Radius und über die Hüllen der Unstetigkeitsstellen der Function und ihrer ersten Derivirten. Die Beiträge, welche diese Unstetigkeitsstellen liefern, sind für jeden einzelnen Fall in (4), (5), (6) des vorigen Paragraphen ausgedrückt. Es handelt sich also nur noch um die Kugel vom Radius . Für sie ist



wenn das Oberflächen-Element einer Kugel vom Radius bezeichnet. Folglich erhalten wir



Nun geht aber aus der Nebenbedingung des §. 18, (6) ohne weiteres hervor


für


Multiplicirt man ferner auf beiden Seiten der Gleichungen (7), (8), (9) des §.18 resp. mit und addirt die Resultate, so ergibt sich