Schwere, Elektricität und Magnetismus:095

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 81
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$V\,$ ist durch die Kennzeichen (§. 18) eindeutig bestimmt.

(1)	$U={\frac {1}{r}}={\frac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}.\,$

Denn diese Function genügt den aufgestellten Bedingungen. Sie ist gleich Null in der Begrenzung des Raumes $T\!$, d. h. in unendlicher Entfernung. Sie ist überall endlich und stetig, ausser im Punkte $(x',\,y',\,z')$, wo sie unendlich wird wie ${\frac {1}{r}}$. Sie erfüllt im ganzen unendlichen Raume die partielle Differentialgleichung

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$

 Als Begrenzung des Raumes $T\!$ können wir eine Kugelfläche nehmen, deren Mittelpunkt im Punkte $(x',\,y',\,z')$ liegt und deren Radius $R\!$ unendlich gross ist. Der Satz des vorigen Paragraphen lautet dann:

(2)	${\begin{aligned}4\pi V'=&-\iiint {\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\;dy\;dz\\&+\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}-U{\frac {\partial V}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$

Das dreifache Integral ist über den ganzen unendlichen Raum auszudehnen, das Oberflächen-Integral über die Kugel vom Radius $R\!$ und über die Hüllen der Unstetigkeitsstellen der Function $V\!$ und ihrer ersten Derivirten. Die Beiträge, welche diese Unstetigkeitsstellen liefern, sind für jeden einzelnen Fall in (4), (5), (6) des vorigen Paragraphen ausgedrückt. Es handelt sich also nur noch um die Kugel vom Radius $R\!$. Für sie ist

${\frac {\partial V}{\partial n}}=-{\frac {\partial V}{\partial R}},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}=-{\frac {\partial U}{\partial R}}={\frac {1}{R^{2}}},\quad d\sigma =R^{2}d\omega ,\,$

wenn $d\omega \!$ das Oberflächen-Element einer Kugel vom Radius $1$ bezeichnet. Folglich erhalten wir

$\int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial n}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial n}}\right)d\sigma =\int d\omega \left(V+R{\frac {\partial V}{\partial R}}\right).$

Nun geht aber aus der Nebenbedingung des §. 18, (6) ohne weiteres hervor

$\lim V={\frac {M}{R}}=0$ für $R=\infty .\,$

Multiplicirt man ferner auf beiden Seiten der Gleichungen (7), (8), (9) des §.18 resp. mit $\cos(Rx),\;\cos(Ry),\;\cos(Rz)\!$ und addirt die Resultate, so ergibt sich