Schwere, Elektricität und Magnetismus:094

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 80
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Zweiter Abschnitt. §. 21.

 Es werde endlich drittens die Function $V\!$ in einem Punkte unstetig. Dies tritt ein, wenn in dem fraglichen Punkte eine endliche Masse $m\!$ concentrirt ist. Wir machen ihn zum Mittelpunkte einer Kugelfläche vom Radius ${\mathfrak {r}}$. Mit $d\omega \!$ soll das Flächenelement auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet werden. Dann lautet der Beitrag, welcher jetzt zu dem Oberflächen-Integral hinzukommt:

$\lim \int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial {\mathfrak {r}}}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial {\mathfrak {r}}}}\right){\mathfrak {r}}^{2}d\omega \ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ {\mathfrak {r}}=0.$

Es ist aber hier

$V={\frac {m}{\mathfrak {r}}}+V_{1},\,$ ${\frac {\partial V}{\partial {\mathfrak {r}}}}=-{\frac {m}{{\mathfrak {r}}^{2}}}+{\frac {\partial V_{1}}{\partial {\mathfrak {r}}}},\,$

und es bleiben $V_{1}\!$ und $\;{\frac {\partial V_{1}}{\partial {\mathfrak {r}}}}\;$ endlich und stetig für ${\mathfrak {r}}=0\,$. Folglich erhalten wir

$\lim \int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial {\mathfrak {r}}}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial {\mathfrak {r}}}}\right){\mathfrak {r}}^{2}d\omega =\lim \int U\,m\,d\omega =4\,\pi \,m\,U_{0},\,$

wenn mit $U_{0}\!$ der Werth von $U\!$ in dem Unstetigkeitspunkte der Function $V\!$ bezeichnet wird. In diesem letzten Falle hat man also auf der rechten Seite der Gleichung (3) zu dem Oberflächen-Integral den Beitrag

(6)	$4\,\pi \,m\,U_{0}\,$

hinzuzufügen.

§. 22. Die Potentialfunction ist durch die Kennzeichen des §. 18 im ganzen unendlichen Raume eindeutig bestimmt.

 Die im vorigen Paragraphen gewonnenen Resultate bieten zunächst die Mittel dar, die im §. 18 aufgestellte Behauptung zu beweisen, dass durch die partielle Differentialgleichung von Laplace [§.18: (1)], durch eine der Gleichungen [§.18: (2), (3), (4), (5)] und die vier Nebenbedingungen [§. 18: (6), (7), (8), (9)] die Potentialfunction vollständig und eindeutig bestimmt ist.

 Um diesen Beweis zu führen, setzen wir fest, dass $T\!$ der ganze unendliche Raum sein soll. Die Hülfsfunction $U\!$ hat in diesem Falle einen sehr einfachen Ausdruck, nemlich