Schwere, Elektricität und Magnetismus:088

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 21.

 Wir setzen $r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}$ und verstehen unter $U_{1}\,$ eine Function von $x,\,y,\,z$, die der Gleichung von Laplace Genüge leistet, im Innern des Raumes $T\,$ überall endlich und stetig variabel ist und in der Oberfläche den Werth $-{\frac {1}{r}}$ annimmt. Dann soll

(1)	$U=U_{1}+{\frac {1}{r}}\,$

genommen werden. Die Function $U\,$ genügt also im Innern des Raumes $T\,$ der partiellen Differentialgleichung

(2)	${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.\,$

Sie ist im Innern dieses Raumes endlich und stetig variabel, ausser im Punkte $(x',\,y',\,z')$, wo sie unendlich wird wie ${\frac {1}{r}}$, und sie hat in der Oberfläche von $T\,$ den Werth Null. Es soll später (§. 34) bewiesen werden, dass eine solche Function existirt.

 Der Punkt $(x',\,y',\,z')$ ist zunächst zum Mittelpunkt einer Kugel vom Radius $r=c\,$ zu machen, deren Oberfläche ganz im Innern des Raumes $T\,$ liegen soll. Das Innere dieser Kugel ist der Raum $T_{2}\,$. Ihre Oberfläche und die Oberfläche von $T\,$ bilden zusammen die Begrenzung des Raumes $T_{1}\,$.

 Im Innern des Raumes $T_{1}\,$ erfüllen $U\,$ und $V\,$ die Bedingungen, unter denen die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen Gültigkeit hat. Wir dürfen also von dieser Gleichung hier Gebrauch machen, wenn das Raum-Integral auf das Innere von $T_{1}\,$ und das Oberflächen-Integral über seine Oberfläche erstreckt wird. Es handelt sich dann um die Frage, welches Resultat für $\lim c=0\,$ zu Stande kommt.

 Das Raum-Integral

$\iiint V\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz$

nimmt vermöge der partiellen Differentialgleichung (2) den Werth Null an, man mag es über den Raum $T_{1}\,$ oder über den ganzen Raum $T\,$ ausdehnen. Es kömmt also, selbst für $\lim c=0\,$, nicht weiter in Betracht.

 Hiernach bleibt in der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen von dem Raum-Integrale nur noch übrig