Schwere, Elektricität und Magnetismus:082

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 18.

ist, wenn keine der Coordinaten $a,\,b,\,c$ unendlich und $\lim R=\infty$ genommen wird. Liegt also die anziehende Masse ganz im endlichen Gebiete, so hat man bei stetiger Vertheilung:

$\lim \int {\frac {R}{r}}dm=\int dm=M;\,$

dagegen bei einer Vertheilung in discreten Punkten:

$\lim \sum m{\frac {R}{r}}=\sum m=M,$

d. h. es ist in allen Fällen

(6)	$\lim RV=M\,$ für $\lim R=\infty .\,$

Ferner sieht man leicht, dass

$\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {R}{r}}\left({\frac {a}{R}}-{\frac {x}{R}}\right)=-\cos \left(Rx\right)$

ist für $\lim R=\infty \,$. Dabei ist die Linie $R\,$ in der Richtung von dem Anfangspunkte der Coordinaten nach dem unendlich fernen Punkte $(x,\,y,\,z)$ genommen. Die letzte Gleichung lässt sich auch so schreiben:

$\lim \,\cos \left(rx\right)=-\cos \left(Rx\right)$ für $\lim R=\infty .$

Also hat man bei stetiger Massenvertheilung

$\lim R^{2}\int {\frac {a-x}{r^{3}}}dm=-\cos \left(Rx\right)\int dm;\,$

dagegen bei einer Vertheilung in discreten Punkten

$\lim R^{2}\sum {\frac {a-x}{r^{3}}}m=-\cos \left(Rx\right)\sum m.$

Entsprechende Gleichungen finden sich, wenn $y\,$ und resp. $z\,$ statt $x\,$ genommen wird. Dadurch erlangt man die Resultate:

(7)	$\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=-M\cos \left(Rx\right),$

(8)	$\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)=-M\cos \left(Ry\right),$

(9)	$\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=-M\cos \left(Rx\right).$

 Durch die partielle Differentialgleichung (1), die Gleichungen (6) bis (9) und eine der Gleichungen (2) bis (5) ist die Potentialfunction für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ vollständig und eindeutig bestimmt. Dieser wichtige Satz soll im §. 22 bewiesen werden.