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Schwere, Elektricität und Magnetismus:081

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 67
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Recapitulation.


Derivirte ändert sich sprungweise beim Durchgang durch die Fläche, und zwar so, dass


(3)


Mit ist die Dichtigkeit in dem Punkte der Fläche bezeichnet, auf dessen Normale die unendlich kleinen Abstände und gezählt werden.

 Bei stetiger Vertheilung der Masse in einer Linie (§. 16) genügt die Potentialfunction im ganzen unendlichen Raume der Differentialgleichung (1). Sie ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt in endlicher Entfernung von der anziehenden Linie bleibt. Nimmt man seinen Abstand von der Linie unendlich klein, so wird die Function unendlich wie , und es gilt demnach die Gleichung:


(4) für


Hier bedeutet die Dichtigkeit an der Stelle der anziehenden Linie, in welche der Punkt für hineinrückt.

 Ist endlich die Masse in einem Punkte concentrirt, so gilt für den ganzen unendlichen Raum die partielle Differentialgleichung (1). Die Function ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt in endlicher Entfernung von dem anziehenden Punkte liegt. Bezeichnet diese Entfernung, so findet sich leicht


(5)


und diese Gleichung gilt noch fur .

 Je nach der Art der Massenvertheilung gilt also neben der partiellen Differentialgleichung (1) noch eine von den Gleichungen (2), (3), (4), (5). Zur vollständigen Bestimmung der Function sind nun noch Gleichungen hinzuzufügen, in denen sich ausspricht, was aus der Function und ihren ersten Derivirten wird, wenn der Punkt in unendliche Entfernung rückt.

 Wir setzen



und bemerken, dass