Schwere, Elektricität und Magnetismus:062

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 48
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Erster Abschnitt. §. 14.

tegration von $0\,$ bis $S\,$ in Beziehung auf $s\,$ und von $0\,$ bis $2\pi \,$ in Beziehung auf $\varphi \,$ auszudehnen. Nun lässt sich leicht zeigen, dass $V_{1}\,$ einen bestimmten, endlichen Werth hat. Denn zunächst ist die Function ${\frac {\rho }{\cos \alpha }}{\frac {s}{r}}\,$ innerhalb der Integrationsgrenzen überall endlich. Für $s=0\,$ wird freilich auch $r=0\,$, wenn man den angezogenen Punkt auf der Normale des Anfangspunktes der Coordinaten in diesen selbst hineinrücken lässt. Aber der Bruch ${\frac {s}{r}}\,$ kann in die Form gebracht werden

${\frac {s}{r}}={\frac {s}{\sqrt {(a-x)^{2}+s^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {a-x}{s}}\right)^{2}}}}.$

Für $s=0\,$ ist auch $a=0\,$. Lassen wir nun auch $x\,$ in Null übergehen, so nimmt der positive Bruch $\left({\frac {a-x}{s}}\right)^{2}\,$ die Form ${\frac {0}{0}}\,$ an. Welchen Werth er aber auch haben möge, so sieht man doch, dass ${\frac {s}{r}}\,$ nicht unendlich werden kann. Die Function unter dem Integralzeichen in (2) ist also innerhalb des Integrationsgebietes überall endlich, und deshalb hat auch das Integral $V_{1}\,$ einen durchaus bestimmten endlichen Werth.

 Behält man auf der Fläche dasselbe abgegrenzte Gebiet, von welchem die Potentialfunction $V_{1}\,$ herrührt, bei, lässt aber den angezogenen Punkt von aussen her an eine andere Stelle dieses Gebiets rücken, so nimmt auch $V_{1}\,$ einen anderen, jedenfalls aber einen bestimmten, endlichen Werth an. Es lässt sich demnach eine Grösse $\delta \,$ angeben, die nicht unendlich gross ist und so beschaffen, dass

$V_{1}<\delta ,\,$

an welcher Stelle des abgegrenzten Gebietes der angezogene Punkt liegen möge. Wird dieser Punkt unendlich wenig in der Fläche verschoben, so gilt für die dadurch entstehende Aenderung $dV_{1}\,$ um so mehr die Ungleichung

$dV_{1}<\delta ,\,$

Die Grösse $\delta \,$ lässt sich aber kleiner und kleiner machen und dem Grenzwerthe Null unaufhörlich annähern. Dazu hat man nur nöthig, den Radius $S\,$ unaufhörlich abnehmen zu lassen. Folglich ist

$\lim dV_{1}=0.\,$