Schwere, Elektricität und Magnetismus:061

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 47
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Die Masse ist über eine Fläche ausgebreitet.

gekrümmt ist, kann man auf derselben immer in endlichem Abstande eine Begrenzung so zeichnen, dass die positiven Normalen aller Punkte des umgrenzten Gebietes spitze Winkel mit einander bilden.

 Auf der unbegrenzten Normale einer Fläche wollen wir von dem Fusspunkte aus eine veränderliche Strecke mit $p\,$ bezeichnen. Die Grösse $p\,$ ist positiv oder negativ, je nachdem die Strecke von dem Fusspunkte aus auf der positiven oder auf der negativen Normale abgetragen ist. Auf jeder Normale gibt es hiernach nur eine Richtung der wachsenden $p\,$, und in dieser Richtung ist der positive Zuwachs $dp\,$ zu rechnen.

 Wir legen nun den Anfangspunkt der Coordinaten in den Punkt der Fläche, in welchen der angezogene Punkt hineinrücken soll. Die Axe der positiven $x\,$ werde in die positive Normale gelegt, die Axen der $y\,$ und der $z\,$ in die Tangentialebene. Es sei $\alpha \,$ der Winkel, welchen die auf $d\sigma \,$ errichtete positive Normale mit der Axe der positiven $x\,$ einschliesst. Um den Anfangspunkt der Coordinaten herum grenzen wir ein endliches Gebiet der Fläche so ab, dass innerhalb desselben ${\frac {\rho }{\cos \alpha }}$ endlich und stetig variabel ist. Der Theil der Potentialfunction $V\,$, welcher von diesem Gebiete herrührt, werde mit $V_{1}\,$, der übrige Theil mit $V_{2}\,$ bezeichnet. Für die anziehende Masse, von welcher $V_{2}\,$ herrührt, ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ein äusserer und daher ist die Function $V_{2}\,$ mit allen ihren Derivirten endlich und stetig variabel. Es kömmt also nur noch auf $V_{1}\,$ an.

 In der $yz\,$Ebene führen wir Polar-Coordinaten ein, so dass

$b=s\cos \varphi ,\,$ $c=s\sin \varphi .\,$

Für einen Punkt $(a,\,b,\,c)$ innerhalb des Gebietes, welches den Anfangspunkt der Coordinaten in sich enthält, kann man ein angrenzendes Flächenelement ausdrücken durch

${\frac {s\,ds\,d\varphi }{\cos \alpha }}.$

Alsdann findet sich

(2)	$V_{1}=\iint {\frac {\rho }{\cos \alpha }}\,{\frac {s}{r}}\,ds\,d\varphi .$

Das Gebiet, von welchem $V_{1}\,$ herrührt, habe in der $\,yz$ Ebene eine Kreisfläche vom Radius $S\,$ zur Projection. Dann ist in (2) die In-