Schwere, Elektricität und Magnetismus:053

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 39
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Satz von Gauss.

 Der eben betrachtete Kegel kann die Oberfläche des Raumes $T\,$ öfter treffen. Dann ist $d\Sigma \,$ die centrale Projection aller ausgeschnittenen Oberflächen-Elemente, und es ist in der Gleichung (4) das negative oder das positive Vorzeichen gültig, je nachdem das Element $d\sigma \,$ an einer Eintritts- oder an einer Austrittsstelle liegt.

 Der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ befinde sich zunächst im Innern des Raumes $T\,$. Dann tritt der Kegel einmal öfter aus als ein.

 Jede Austritts- und jede Eintrittsstelle liefert einen Beitrag zu dem Integral (3), und zwar sieht man aus Gleichung (4), dass dieser Beitrag gleich $+d\Sigma \,$ ist an allen Austrittsstellen und gleich $-d\Sigma \,$an allen Eintrittsstellen. Der Inbegriff aller Beiträge, welche die durch den Kegel ausgeschnittenen Oberflächen-Elemente liefern, ist demnach

$=d\Sigma .\,$

Denn der Beitrag jeder Eintrittsstelle hebt den Beitrag der vorhergehenden Austrittsstelle auf und es bleibt nur der Beitrag der letzten Austrittsstelle übrig. Der Werth des Integrals (3) ist also

(5)	$=\int d\Sigma ,\,$

wenn man das letztere über alle die Stellen der Kugel vom Radius 1 erstreckt, welche Projectionen von Oberflächen-Elementen des Raumes $T\,$ sind. Da aber der Punkt im Innern des Raumes $T\,$ liegt, so kann der Elementarkegel durch kein Element der Kugelfläche vom Radius 1 hindurchgehen, ohne irgendwo auch die Oberfläche von $T\,$ zu durchschneiden. D. h. das Integral (5) ist über die ganze Kugelfläche zu erstrecken, und folglich hat man

(6)	$\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma =4\pi ,$

wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ im Innern des Raumes $T\,$ liegt.

 Nimmt man aber zweitens den Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ ausserhalb des Raumes $T\,$, so trifft der Elementarkegel die Oberfläche von $T\,$ entweder gar nicht, oder er tritt ebenso oft aus wie ein. Jede Eintrittsstelle liefert zu dem Integral (3) auch hier den Beitrag $-d\Sigma \,$, und jede Austrittsstelle den Beitrag $+d\Sigma \,$. Folglich heben sich die Beiträge auf, welche von jedem einzelnen Elementarkegel herrühren, und man hat