Schwere, Elektricität und Magnetismus:052

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 11.

Flächen ansehen. Die Erzeugenden des Kegels sind dann die projicirenden Strahlen. Sie stehen als Radien sämmtlich rechtwinklig

Fig. 6.

auf der Kugelfläche. Man erhält also das Element der Kugelfläche, indem man $d\sigma \,$ mit dem Cosinus des spitzen Winkels multiplicirt, welchen die im Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ errichteten Normalen der Kugel und des Flächenelementes $d\sigma \,$ einschliessen, d. h. mit dem absoluten Werthe von $\cos(rn)\,$. Das Element, welches der Kegel aus der Kugelfläche vom Radius $r\,$ ausschneidet, ist demnach

$\pm d\sigma \cdot \cos(rn),$

und es gilt das negative oder das positive Zeichen, je nachdem der von $(a,\,b,\,c)\,$ ausgehende Radius vector an der Stelle $(x,\,y,\,z)\,$ in den Raum $T\,$ eintritt oder aus ihm austritt. Die Richtigkeit dieser Vorzeichen-Bestimmung ist leicht einzusehen. Die Richtung der wachsenden $n\,$ schliesst nemlich spitze Winkel ein mit allen geraden Linien, die vom Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ aus nach dem Innern des Raumes $T\,$ gezogen werden, und stumpfe Winkel mit allen Linien, die vom Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ nach aussen gehen. Der von $(a,\,b,\,c)\,$ nach $(x,\,y,\,z)\,$ gezogene Radius vector ist aber der Richtung von $r\,$ gerade entgegengesetzt.

 Legt man nun um den Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ als Mittelpunkt eine zweite Kugelgläche mit der Längeneinheit als Radius, so schneidet aus dieser der Kegel ein Element $d\Sigma \,$ heraus, dessen Inhalt sich berechnet

(4)	$d\Sigma =\pm {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)d\sigma .\,$