Schwere, Elektricität und Magnetismus:020

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 1.

des Parallelepipedon $da\,db\,dc\,$ multipliciren muss, um seine Masse $dm\,$ zu erhalten, wird die Dichtigkeit genannt, und zwar die Dichtigkeit im Punkte $(a,\,b,\,c)$. Im allgemeinen ändert sich die Dichtigkeit, wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)$ an eine andere Stelle rückt. Es ist also $\rho \,$ eine Function des Ortes

(8)	$\rho =f(a,\,b,\,c).$

Wenn nichts anderes ausdrücklich festgesetzt wird, soll diese Function im Innern des anziehenden Körpers überall endlich und stetig variabel sein. Ausserhalb des anziehenden Körpers ist sie Null. Die Masse des betrachteten Parallelepipedon ist

$dm=\rho \;da\;db\;dc.$

Sie übt auf die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ befindliche Masse $\mu \,$ eine Anziehung aus

$=k\mu \,{\frac {\rho \;da\;db\;dc}{r^{2}}},\,$

deren Componenten parallel den Coordinatenaxen die Werthe haben

$k\mu \,{\frac {(a-x)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\,$ $k\mu \,{\frac {(b-y)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\,$ $k\mu \,{\frac {(c-z)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}}.\,$

 Die Oberfläche des anziehenden Körpers werde ausgedrückt durch die Gleichung

(9)

$W=0,\,$

wobei $W\,$ eine Function von $a,\,b,\,c$ bezeichnet. Diese Function habe negative oder positive Werthe, je nachdem der Punkt $(a,\,b,\,c)$ im Innern oder ausserhalb des anziehenden Körpers liegt. Die Componenten der Gesammtanziehung, welche auf die Masse $\mu \,$ ausgeübt wird, sind

(10)	${\begin{aligned}X&=k\mu \iiint {\frac {(a-x)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\\Y&=k\mu \iiint {\frac {(b-y)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\\Z&=k\mu \iiint {\frac {(c-z)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}}.\end{aligned}}$