Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 8.

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§. 8. Fortsetzung.

 Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, dass die Dichtigkeit $\rho \,$ des anziehenden Körpers eine endliche und stetige Function des Ortes sei. Diese Voraussetzung soll jetzt noch beibehalten werden. Liegt der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Masse, so ist ${\frac {\rho }{r}}$ für jeden Punkt $(a,\,b,\,c)$ in ihrem Innern endlich und stetig, und daher kann man die Transformation des vorigen Paragraphen ohne weiteres vornehmen.

 Wenn aber der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt, so wird die Function ${\frac {\rho }{r}}$ für ein Element der Integration unendlich gross. Deshalb machen wir den Punkt $(x,\,y,\,z)$ zum Mittelpunkte einer Kugelfläche vom Radius $\varepsilon \,$ und schliessen den von ihr begrenzten inneren Raum zunächst von der Integration aus. Dadurch wird die Transformation des vorigen Paragraphen zulässig und man erhält

(1)	$\iiint \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\;db\;dc=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \,d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc.$

Die dreifachen Integrationen erstrecken sich auf den anziehenden Körper mit Ausnahme der den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ enthaltenden Kugel. Das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma$ ist auszudehnen über die Oberfläche der anziehenden Masse und über die Oberfläche des ausgeschlossenen kugelförmigen Gebietes. Bezeichnen wir mit $\rho _{1}\,$ den grössten Werth von $\rho \,$ auf dieser Kugelfläche und beachten, dass $\cos \alpha \!$ in den äussersten Fällen $=\pm 1$ sein kann, so findet sich, dass der von der Kugel herrührende Beitrag zu dem Oberflächen-Integral einen Werth hat, der absolut genommen kleiner ist als

$\rho _{1}\int {\frac {d\sigma }{r}},$

d. h. kleiner als

${\frac {\rho _{1}}{\varepsilon }}\int d\sigma ,$

oder, was dasselbe sagt, kleiner als

$4\pi \,\rho _{1}\varepsilon .\,$

Folglich wird dieser Beitrag zu Null für $\varepsilon =0$. Nun behalten aber die dreifachen Integrale in (1) bestimmte, endliche Werthe, wenn man den Radius $\varepsilon$ der ausgeschlossenen Kugel zu Null macht. Von dem Integrale links ist dies in §. 6 bewiesen. Für das Integral rechts ergibt sich der Beweis auf demselben Wege, wenn man beachtet, dass ${\frac {\partial \rho }{\partial a}}$ im Innern des Integrationsgebietes überall endlich ist. Folglich gilt die Gleichung (1) auch dann noch, wenn man die dreifachen Integrale über den ganzen anziehenden Körper erstreckt und das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \,d\sigma$ über seine Oberfläche. D. h. die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen bleibt gültig, wenn der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt. Auf entsprechende Weise kann man auch die Ausdrücke für ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ transformiren. Bezeichnen $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,$ die drei Winkel, welche die auf dem Oberflächen-Element $d\sigma \,$ des anziehenden Körpers nach seinem Innern zu errichtete Normale mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst, so lauten die Resultate der Transformation:

(2)

${\frac {\partial V}{\partial x}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial V}{\partial y}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \beta \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial b}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial V}{\partial z}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \gamma \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial c}}da\;db\;dc.$

 Diese Gleichungen sind gültig, der angezogene Punkt mag ausserhalb oder innerhalb der anziehenden Masse liegen. Denn für beide Fälle ist die Zulässigkeit der Transformation nachgewiesen. Die einzige Bedingung, die erfüllt sein muss, besteht darin, dass die Dichtigkeit der anziehenden Masse im Innern des von ihr erfüllten Raumes eine stetige Function des Ortes sei.

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