Schwere, Elektricität und Magnetismus:042

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 8.

Integration aus. Dadurch wird die Transformation des vorigen Paragraphen zulässig und man erhält

(1)	$\iiint \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\;db\;dc=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \,d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc.$

Die dreifachen Integrationen erstrecken sich auf den anziehenden Körper mit Ausnahme der den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ enthaltenden Kugel. Das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma$ ist auszudehnen über die Oberfläche der anziehenden Masse und über die Oberfläche des ausgeschlossenen kugelförmigen Gebietes. Bezeichnen wir mit $\rho _{1}\,$ den grössten Werth von $\rho \,$ auf dieser Kugelfläche und beachten, dass $\cos \alpha \!$ in den äussersten Fällen $=\pm 1$ sein kann, so findet sich, dass der von der Kugel herrührende Beitrag zu dem Oberflächen-Integral einen Werth hat, der absolut genommen kleiner ist als

$\rho _{1}\int {\frac {d\sigma }{r}},$

d. h. kleiner als

${\frac {\rho _{1}}{\varepsilon }}\int d\sigma ,$

oder, was dasselbe sagt, kleiner als

$4\pi \,\rho _{1}\varepsilon .\,$

Folglich wird dieser Beitrag zu Null für $\varepsilon =0$. Nun behalten aber die dreifachen Integrale in (1) bestimmte, endliche Werthe, wenn man den Radius $\varepsilon$ der ausgeschlossenen Kugel zu Null macht. Von dem Integrale links ist dies in §. 6 bewiesen. Für das Integral rechts ergibt sich der Beweis auf demselben Wege, wenn man beachtet, dass ${\frac {\partial \rho }{\partial a}}$ im Innern des Integrationsgebietes überall endlich ist. Folglich gilt die Gleichung (1) auch dann noch, wenn man die dreifachen Integrale über den ganzen anziehenden Körper erstreckt und das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \,d\sigma$ über seine Oberfläche. D. h. die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen bleibt gültig, wenn der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt. Auf entsprechende Weise kann man auch die Ausdrücke für ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ transformiren. Bezeichnen $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,$ die drei Winkel,