Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 55.

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§ 55. Freie Elektricität. Die Gleichung: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,=-\left({\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}\,+\,{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}\,+\,{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}\right)$.

 Unter der freien Elektricität, welche in einem Körperelement resp. in einem Oberflächenelement enthalten ist, verstehen wir die algebraische Summe der in dem Körperelement, resp. dem Oberflächenelement überhaupt vorhandenen Elektricitätsmengen. Dividiren wir diese Summe durch den Rauminhalt des Körperelementes, resp. durch den Flächeninhalt des Oberflächenelementes, so ergibt sich ein Quotient, der die Dichtigkeit der freien Elektricität an der betreffenden Stelle genannt wird. Wir bezeichnen ihn mit $\rho \!$.

 Im Innern eines Leiters werde nun ein unendlich kleines Parallelepipedon betrachtet, dessen Kanten von der Länge $dx,\,dy,\,dz$ den

Fig. 33.

Coordinatenaxen parallel laufen. Der dem Anfangspunkte zunächst gelegene Eckpunkt habe die Coordinaten $x,\,y,\,z$ (Fig. 33). Es handelt sich um die Berechnung der Elektricitätsmenge, um welche während eines Zeitelementes $dt\!$ sich die freie Elektricität im Innern des Parallelepipedon vermehrt. Dazu hat man den Durchgang durch die sechs Begrenzungsflächen zu betrachten. Rechtwinklig zur Axe der $x\!$ liegen zwei Seitenflächen, jede vom Flächeninhalt $dy\,dz$. In der einen haben alle Punkte die erste Coordinate $=x\!$, in der anderen $=x+dx\!$. Durch jene strömt in der Zeit $dt\!$ die Elektricitätsmenge

$i_{1}\,dy\,dz\,dt,$

durch diese die Elektricitätsmenge

$\left(i_{1}+\,{\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}\,dx\right)dy\,dz\,dt.$

Die zuerst berechnete Elektricitätsmenge tritt in das Parallepipedon ein, die zweite tritt aus, und es ergibt sich als Zuwachs für das Innere:

$-\,{\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz\,dt.$

In derselben Weise berechnen wir die Zunahmen, welche von dem Durchgang durch die Seitenflächen herrühren, auf denen die $y\,$ Axe und resp. die $z\,$ Axe rechtwinklig stehen. Wir erhalten

$-{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}dx\;dy\;dz\;dt,$ $-{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}dx\;dy\;dz\;dt.$

Die ganze Zunahme an freier Elektricität, welche dem unendlich kleinen Parallelepipedon in dem Zeitelement $dt\,$ zu Theil wird, findet sich, wenn man die drei letzten Ausdrücke addirt.

 Andererseits hat man zu beachten, dass

$\rho \;dx\;dy\;dz$

die gesammte freie Elektricität ist, welche zur Zeit $t\,$ in dem Parallelepipedon sich befindet. Diese erleidet in dem nächsten Zeitelement $dt\,$ die Zunahme

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}dx\;dy\;dz\;dt.$

Wir haben danach für dieselbe Zunahme zwei verschiedene Ausdrücke gewonnen und erhalten durch ihre Gleichsetzung die wichtige Gleichung:

(1)	${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\left({\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}\right).$

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