|[174]
§. 43.
Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft hergeleitet aus dem Princip des Lagrange.
Aus dem Princip des Lagrange lässt sich die Gültigkeit des Satzes von der Erhaltung der lebendigen Kraft herleiten, unter der Voraussetzung, dass das Potential
die Variable
nicht explicite enthält. Da der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft in der Gleichung sich ausspricht:
|
|
so kommt es nur darauf an, zu beweisen, dass
|
|
ist. Nun berechnet sich aber
(1)
|
|
wenn
, wie vorausgesetzt wird, die Variable
nicht explicite enthält. Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, dass
eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen
ist, also:
(2)
|
|
Hier sollen
und
irgend welche ganzen Zahlen aus der Reihe
sein. Jeder Werth, den
annehmen kann, soll mit jedem Werthe von
einmal zusammengestellt, und die entstehenden einzelnen Ausdrücke sollen addirt werden. Danach ist
eine Summe von
Gliedern, von denen jedes seinen eigenen Coefficienten
hat. Diese Coefficienten, für welche wir allgemein die Relation
feststellen, sind Functionen der Grössen
.
Aus der Gleichung (2) ergibt sich durch Differentiation
|
|
|[175]und ferner
|
|
In dieser letzten Gleichung wollen wir auf beiden Seiten mit
multipliciren, dann für
der Reihe nach alle ganzen Zahlen
einsetzen und die Resultate rechts und links vom Gleichheitszeichen addiren. Dadurch findet sich
(3)
|
|
Betrachten wir zunächst den ersten Bestandtheil der rechten Seite. Es ist
|
|
und in Folge davon
(4)
|
|
|
|
Der zweite Bestandteil auf der rechten Seite der Gleichung (3) lässt sich schreiben
|
|
und demnach hat man
(5)
|
|
Benutzt man die Gleichungen (4) und (5), so geht die Gleichung (3) in folgende über
(6)
|
|
|[176]Das Princip des Lagrange spricht sich aus in der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen, in welcher man
der Reihe nach
setzen darf. Multiplicirt man nun in dieser Gleichung auf beiden Seiten mit
und summirt über alle Werthe von
, so ergibt sich
|
|
Hier braucht man aber nur die eben abgeleitete Gleichung (6) zu berücksichtigen, um zu finden
(7)
|
|
d. h. mit Rücksicht auf (1):
(8)
|
|
und das sollte bewiesen werden.
Die Untersuchungen der §§. 40 bis 43 sind in dem besonderen Falle anwendbar, dass die materiellen Punkte des Systems ihre gegenseitige Lage nicht ändern. Sie gelten demnach auch für die Bewegung eines starren Körpers. Die Lage eines solchen starren Körpers ist im Raume völlig bestimmt, wenn man sechs von einander unabhängige Grössen kennt, nemlich die drei Coordinaten eines mit dem Körper fest verbundenen Punktes, z. B. des Schwerpunktes, dann zwei Winkel, welche die Richtung einer geraden Linie festlegen, die durch jenen Punkt geht und mit dem Körper fest verbunden ist, und endlich ein Winkel, welcher die Lage einer Ebene bestimmt, die jene Linie in sich enthält und mit dem Körper ebenfalls fest verbunden ist. Bei der Bewegung eines starren Körpers hat man also diese sechs Grössen als die Variabeln
zu nehmen.