Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§41

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§. 41. Ueber eine Relation, welche in gewissen Fällen zwischen der elektromotorischen Kraft und der ponderomotorischen Arbeit stattfindet.

Es sei $s$ ein seiner Gestalt und räumlichen Lage nach in beliebiger Bewegung begriffener linearer Leiter, und $\alpha \gamma$ irgend ein Segment von $s$. Der grösseren Allgemeinheit willen mag angenommen werden, dass die Begrenzungspuncte $\alpha$ und $\gamma$ dieses Segmentes mit irgend welchen (beliebig variirenden) Geschwindigkeiten längs $s$ fortrücken, so dass also das Segment von Augenblick zu Augenblick ein anderes wird.

Es soll die Summe ${\mathfrak {S}}$ derjenigen elektromotorischen Kräfte eldy. Us berechnet werden, welche in dem ungeschlossenen Leiter $\alpha \gamma$ während irgend eines Zeitraumes $t'\dots t''$ hervorgebracht werden^[1] durch einen gegebenen Inducenten ($J_{1},s_{1}$). Dieser Inducent sei ein geschlossener Strom, ohne Gleitstellen, von constanter^[2] Stromstärke, begriffen in beliebiger Bewegung.

Die ponderomotorische Kraft $R$, welche ein Element $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ des gegebenen Inducenten auf irgend ein Element ${\mathsf {D}}s$ des Leiters $\alpha \gamma$ ausüben würde, falls letzterer von der Stromeinheit durchflossen wäre, kann dargestellt werden durch:

(1.)	$R={\mathsf {D}}s\cdot J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}};$

und gleichzeitig wird alsdann die von $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ während der Zeit $dt$ in ${\mathsf {D}}s_{0}$ hervorgebrachte elektromotorische Kraft ${\mathfrak {E}}dt$ (zufolge des von uns gefundenen Gesetzes, pag. 218) den Werth haben:

(2.)	${\begin{array}{r}{\mathfrak {E}}dt=-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr+\left(dJ_{1}\right){\mathsf {D}}s_{1}\cdot \omega \Theta \Theta _{1}\\\\-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial \left(\omega \Theta \cdot dr\right)}{\partial s_{1}}};\end{array}}$

wofür im gegenwärtigen Fall, weil $J_{1}$ constant, mithin $dJ_{1}$ null ist, einfacher geschrieben werden kann:

(3.)	${\mathfrak {E}}dt=-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}\ dr-J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial \left(\omega \Theta \cdot dr\right)}{\partial s_{1}}},$

Multiplicirt man diese Formel mit ${\mathsf {D}}s$, und integrirt sodann einerseits über alle augenblicklich in $\alpha \gamma$ enthaltenen ${\mathsf {D}}s$, andererseits über sämmtliche $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ des gegebenen Inducenten, so erhält man:

(4.)	$(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s)dr=-J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}dr\right]-J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial \left(\omega \Theta \cdot dr\right)}{\partial s_{1}}}\right].$

Dieser Ausdruck, welcher also die Summe der von $\left(J_{1},s_{1}\right)$ während der Zeit $dt$ in $\alpha \gamma$ hervorgebrachten elektromotorischen Kräfte repräsentirt, ist einer weiteren Vereinfachung fähig. Denn das Product

$\omega \Theta \cdot dr$ oder $\omega \Theta {\frac {dr}{dt}}dt$

ist, weil $\left(J_{1},s_{1}\right)$ keine Gleitstellen hat, längs $s_{1}$ überall stetig^[3]; folglich das über die geschlossene Curve $s_{1}$ ausgedehnte Integral

$\Sigma \left[{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial \left(\omega \Theta \cdot dr\right)}{\partial s_{1}}}\right]$

gleich Null. Hiedurch aber reducirt sich die Formel (4.) auf:

(5.)	$(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s)dt=-J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}dr\right];$

wofür mit Rücksicht auf (1.) auch geschrieben werden darf:

(6.)	$(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s)dt=-\Sigma \Sigma \ \left[Rdr\right].$

Diese Formel sagt aus, dass die Summe der von $\left(J_{1},s_{1}\right)$ während der Zeit $dt$ in $\alpha \gamma$ erzeugten elektromotorischen Kräfte, abgesehen vom Vorzeichen, identisch ist mit derjenigen ponderomotorischen Arbeit, welche $\left(J_{1},s_{1}\right)$ und der Leiter $\alpha \gamma$ während dieser Zeit aufeinander ausüben würden, falls letzterer durchflossen wäre von der Stromeinheit. Denkt man sich diese Formel (6.) der Reihe nach hingestellt für sämmtliche Elemente $dt$ des gegebenen Zeitraums $t'\dots t''$ (wobei alsdann die Grenzen $\alpha ,\gamma$ der nach ${\mathsf {D}}s$ auszuführenden Integration in jeder Formel andere sein werden), so kann das Resultat der Addition all’ dieser Formeln etwa angedeutet werden durch:

(7.)	$\int \limits _{t'}^{t''}(\Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}\ {\mathsf {D}}s)dt=-\int \limits _{t'}^{t''}\Sigma \Sigma \ \left[Rdr\right];$

so dass man also zu folgendem Satz gelangt:

Befinden sich der elektrische Strom $\left(J_{1},s_{1}\right)$ und der ungeschlossene Leiter $\alpha \gamma$ in beliebigen Bewegungen, und bezeichnet man mit ${\mathfrak {S}}$ die Summe der von $\left(J_{1},s_{1}\right)$ während eines gegebenen endlichen Zeitraumes in $\alpha \gamma$ hervorgerufenen elektromotorischen Kräfte, andererseits mit $S$ diejenige ponderomotorische Arbeit^[4], welche während desselben Zeitraumes $\left(J_{1},s_{1}\right)$ und $\alpha \gamma$ aufeinander ausgeübt haben würden, falls $\alpha \gamma$ durchflossen wäre von der Stromeinheit, so findet die Relation statt:

(8.)	${\mathfrak {S}}=-S.$

Dabei kann die Bewegung des Leiters $\alpha \gamma$, hinsichtlich seiner Gestalt und räumlichen Lage, wie hinsichtlich seiner Begrenzungspuncte, eine beliebige sein. In Betreff des inducirenden Stromes $\left(J_{1},s_{1}\right)$ hingegen ist die Voraussetzung erforderlich, dass derselbe geschlossen, ferner frei von Gleitstellen, endlich seiner Stärke nach constant sei.

Der Satz wird, wie aus ihm selber hervorgeht, offenbar auch dann anwendbar sein, wenn man an Stelle des ungeschlossenen Leiters $\alpha \gamma$ irgend welchen geschlossenen Leiter nimmt, einerlei ob dieser mit Gleitstellen behaftet ist oder nicht.

Durch den vorstehenden Satz ist ${\mathfrak {S}}$ auf $S$ reducirt, wenigstens für gewisse Fälle; es handelt sich also nun weiter um die Berechnung von $S$, und zwar für zwei Ströme, von denen der eine die Stärke 1, der andere eine ebenfalls constante Stärke $J_{1}$ besitzt. Diese Aufgabe soll im folgenden §. behandelt werden.

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1. Sind $t',t^{I},t^{II},t^{III}\dots$ die (in unendlich kleinen Intervallen) auf einander folgenden Zeitaugenblicke des gegebenen Zeitraumes $t'\dots t''$, und sind ferner $\alpha '\gamma ',\alpha ^{I}\gamma ^{I},\alpha ^{II}\gamma ^{II},\dots$ diejenigen Gestalten, welche der ungeschlossene Leiter $\alpha \gamma$ in jenen einzelnen Zeitaugenblicken der Reihe nach besitzt, so wird die zu berechnende Summe ${\mathfrak {S}}$ sämmtliche elektromotorische Kräfte umfassen, welche in $\alpha '\gamma '$ während der Zeit $t',t^{I}$, in $\alpha ^{I}\gamma ^{I}$ während der Zeit $t^{I},t^{II}$, in $\alpha ^{II}\gamma ^{II}$ während der Zeit $t^{II},t^{III}$, u. s. w. hervorgerufen werden.
2. Vergl. die Note pag. 97.
3. Wären Gleitstellen im Ringe $s_{1}$ vorhanden, so würde der in jenem Ausdruck enthaltene Factor ${\tfrac {dr}{dt}}$ längs des Ringes $s_{1}$ Werthe haben, welche an jeder Gleitstelle einen Sprung, eine Unstetigkeit darbieten.
4. Es versteht sich von selber, dass, ebenso wie unter ${\mathfrak {S}}$ nur die elektromotorischen Kräfte elektrodynamischen Ursprungs, ebenso auch unter $S$ nur die ponderomotorische Arbeit elektrodynamischen Ursprungs zu verstehen ist. In unserer früheren genaueren Bezeichnungsweise würde also die Arbeit $S$ darzustellen sein durch
   $S=\int \limits _{t'}^{t''}\left(dT_{A}^{B}+dT_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} },$

   falls nämlich $A$ den von der Stromeinheit durchflossenen Leiter $\alpha \gamma$, andererseits $B$ den Stromring $\left(J_{1},s_{1}\right)$ vorstellt.