Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§32

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§. 32. Definitive Gestaltung des den elektromotorischen Kräften eldy. Us zuzuschreibenden Elementargesetzes.

Die im Innern eines ponderablen Körpers an irgend einer Stelle vorhandene elektrische Strömung kann ihre Richtung in zwiefacher Weise ändern, entweder für sich allein, oder mitsammt des Körpers. Ist z. B. der Körper durch zwei Drähte verbunden mit den Polen einer Galvanischen Batterie, so wird ersteres eintreten, wenn wir den Körper in eine feste Aufstellung versetzen, und die Einmündungsstellen jener Drähte längs seiner Oberfläche verschieben, hingegen letzteres eintreten, wenn wir jene Drähte an ihren Einmündungsstellen mit dem Körper starr verbinden (zusammenlöthen), sodann aber den Körper selbst in irgend welche Drehung versetzen.

Es erscheint im höchsten Grade wahrscheinlich, dass die von einer elektrischen Strömung vermöge ihrer Richtungsänderung hervorgerufene elektromotorische Kraft lediglich abhängt von der relativen Beschaffenheit dieser Richtungsänderung in Bezug auf den inducirten Körper, einerlei ob der ponderable Träger der Strömung an dieser Richtungsänderung Theil nimmt oder nicht, dass also z. B. jene elektromotorische Kraft immer Null ist, sobald die relative Beschaffenheit der elektrischen Strömung in Bezug auf den inducirten Körper während der betrachteten Zeit keine Aenderung erleidet. — Um diese Hypothese möglichst präcise auszusprechen, geben wir ihr folgende Fassung.

(1.).... Sechste Hypothese. Bezeichnet ${\mathsf {Dv}}_{1}$ ein unendlich kleines genau kugelförmiges Volumelement eines Körpers $B$, in welchem beliebige elektrische Vorgänge stattfinden, und steht der Mittelpunct von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ in starrer Verbindung mit einem gegebenen Körper $A$, während $B$ selber um diesen Mittelpunct in irgend welcher Drehung begriffen ist, so soll angenommen werden, dass die von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ in irgend einem Puncte von $A$ hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us immer Null ist, sobald die in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandene elektrische Strömung, beurtheilt mit Bezug auf $A$, ihrer Richtung und Stärke nach constant bleibt.

Der Körper $A$ und das rechtwinklige Axensystem ($x,y,z$) mögen in absolut unbeweglicher Aufstellung gedacht werden; ebenso die Galvanische Batterie $G$, und die von ihren Polen nach dem Körper $B$ hinlaufenden beiden Drähte (Fig. 10); ebenso endlich die zur $z$-Axe parallele Axe $\mu \nu$, um welche der Körper $B$ in Rotation begriffen ist.

Dieser Körper $B$ sei ein homogener Metallcylinder, dessen geometrische Axe mit seiner Rotationsaxe $\mu \nu$ zusammenfällt. Während der Rotation werden die Einmündungsstellen jener beiden (absolut unbeweglich gedachten) Drähte dahinschleifen auf der Oberfläche von $B$. — Endlich sei ${\mathsf {Dv}}_{1}$ ein unendlich kleines, genau kugelförmiges Volumelement von $B$, dessen Mittelpunct $m_{1}$ in der Axe $\mu \nu$ liegt.

Fig. 10

Die Stärke der Batterie constant vorausgesetzt, und die Rotationsgeschwindigkeit des Cylinders $B$ ebenfalls als constant vorausgesetzt, muss nach einiger Zeit im Innern des Cylinders $B$ ein elektrischer Strömungszustand sich etabliren, dessen Beschaffenheit (mit Bezug auf $B$ fortwährend sich ändernd) constant bleibt mit Bezug auf den absoluten Raum, oder (was dasselbe ist) mit Bezug auf $A$. Sind also $u_{1},\ v_{1},\ w_{1}$ die Componenten der in $m_{1}$ oder ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandenen elektrischen Strömung, bezogen auf die absolut unbeweglichen Axen $x,y,z$, so werden nach Eintritt des genannten Zustandes, die Zuwüchse $du_{1},\ dv_{1},\ dw_{1}$ fortdauernd Null sein^[1].

Zufolge unserer Hypothese (1.) muss daher während dieses Zustandes die von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ in irgend einem Puncte $m_{0}$ des Körpers $A$ hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us ebenfalls fortdauernd Null sein.

Im Allgemeinen lassen sich jene Zuwüchse $du_{1},\ dv_{1},\ dw_{1}$ (vergl. pag. 178) darstellen durch die Formeln:

${\begin{array}{lll}du_{1}=\Delta u_{1}+\delta u_{1},&&\delta u_{1}=w_{1}\delta \beta _{1}-v_{1}\delta \gamma _{1},\\dv_{1}=\Delta v_{1}+\delta v_{1},&&\delta v_{1}=u_{1}\delta \gamma _{1}-w_{1}\delta \alpha _{1},\\dw_{1}=\Delta w_{1}+\delta w_{1},&&\delta w_{1}=v_{1}\delta \alpha _{1}-u_{1}\delta \beta _{1}.\end{array}}$

In dem hier betrachteten speciellen Falle ergeben sich daher, weil $du_{1}=dv_{1}=dw_{1}=0$, und die Rotationsaxe $\mu \nu$ parallel der $z$-Axe ist, folgende Gleichungen:

(2.)	${\begin{array}{lll}0=\Delta u_{1}+\delta u_{1},&&\delta u_{1}=-v_{1}g_{1}dt\\0=\Delta v_{1}+\delta v_{1},&&\delta v_{1}=+u_{1}g_{1}dt\\0=\Delta w_{1}+\delta w_{1},&&\delta w_{1}=0,\end{array}}$

wo $g_{1}$ die Rotationsgeschwindigkeit des Cylinders $B$ bezeichnet.

Bezeichnet man nun die vom Elemente ${\mathsf {Dv}}_{1}$ während der Zeit $dt$ in irgend einem Puncte $m_{0}$ des Körpers $A$ hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us mit

(3.)	$X_{0}^{1}dt,\ Y_{0}^{1}dt,\ Z_{0}^{1}dt,$

so ist, zufolge früherer Ergebnisse (pag. 181):

(4.)	$X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\delta \Omega '}{2}}+\Delta \Omega '+{\frac {\sigma \mathrm {A} \delta j_{1}}{2}}\right);$

denn es ist zu beachten, dass im vorliegenden Falle nicht nur $\delta \alpha _{0},\delta \beta _{0},\delta \gamma _{0}$, sondern auch $\delta r,\delta \mathrm {A} ,\delta \mathrm {B} ,\delta \Gamma$ sämmtlich verschwinden, weil die Linie $r$, die Verbindungslinie von $m_{0}$ und dem Mittelpunct $m_{1}$ des Volumens ${\mathsf {Dv}}_{1}$, ihrer Länge und Richtung nach unveränderlich ist. In der Formel (4.) haben $j_{1}$ und $\Omega '$ die Bedeutungen (vergl. pag. 181):

(5.)	${\begin{array}{l}j_{1}=\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} v_{1}+\Gamma w_{1}\\\Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} v_{1}+\Gamma w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}u_{1}.\end{array}}$

Hieraus folgt, wiederum mit Rücksicht darauf, dass $r,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ unveränderlich gegeben sind:

(6.)

${\begin{array}{l}\delta j_{1}=\mathrm {A} \delta u_{1}+\mathrm {B} \delta v_{1}+\Gamma \delta w_{1},\\\delta \Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} \delta u_{1}+\mathrm {B} \delta v_{1}+\Gamma \delta w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}\delta u_{1},\\\Delta \Omega '=\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} \Delta u_{1}+\mathrm {B} \Delta v_{1}+\Gamma \Delta w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}\Delta u_{1}.\end{array}}$

Durch Substitution dieser Werthe (6.) in die Formel (4.) folgt:

(7.)

$X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left\{{\begin{array}{c}{\frac {\sigma +\omega }{2}}\mathrm {A} \left(\mathrm {A} \delta u_{1}+\mathrm {B} \delta v_{1}+\Gamma \delta w_{1}\right)+{\frac {\overset {II}{\omega }}{2}}\delta u_{1}\\\\+\omega \mathrm {A} \left(\mathrm {A} \Delta u_{1}+\mathrm {B} \Delta v_{1}+\Gamma \Delta w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}\Delta u_{1}\end{array}}\right\}.$

Beachtet man nun, dass im hier betrachteten Fall [nach (2.)] $\Delta u_{1}=-\delta u_{1},\ \Delta v_{1}=-\delta v_{1},\ \Delta w_{1}=-\delta w_{1}$ ist, so ergiebt sich:

(8.)	$X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\sigma -\omega }{2}}\mathrm {A} \left(\mathrm {A} \delta u_{1}+\mathrm {B} \delta v_{1}+\Gamma \delta w_{1}\right)-{\frac {\overset {II}{\omega }}{2}}\delta u_{1}\right),$

oder weil [ebenfalls nach (2.)] $\delta u_{1}=-v_{1}g_{1}dt,\ \delta v_{1}=u_{1}g_{1}dt,\ \delta w_{1}=0$ ist:

(9.)	$X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\sigma -\omega }{2}}\mathrm {A} \left(\mathrm {B} u_{1}-\mathrm {A} v_{1}\right)+{\frac {\overset {II}{\omega }}{2}}v_{1}\right)g_{1}dt.$

Zufolge der vorhin angestellten Ueberlegungen muss aber die Kraft $X_{0}^{1}dt,\ Y_{0}^{1}dt,\ Z_{0}^{1}dt$ verschwinden für jeden beliebigen Punct $m_{0}$ des Körpers $A$, d. h. für beliebige Werthe von $r,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$. Somit folgt aus (9.), dass

(10.)

$\sigma =\omega \quad \mathrm {und} \quad {\overset {II}{\omega }}=0$

sein muss.

Die von uns eingeführte Hypothese (1.) bringt also mit sich, dass die Functionen $\sigma =\sigma (r),\ \omega =\omega (r),\ {\overset {II}{\omega }}={\overset {II}{\omega }}(r)$ die durch (10.) ausgedrückte Beschaffenheit besitzen. In jedenfalls nicht minder zuverlässiger Weise ist früher bereits (pag. 145) gefunden, dass zwischen $\omega =\omega (r)$ und ${\overset {II}{\omega }}={\overset {II}{\omega }}(r)$ die Relation stattfindet:

(11.)

$\omega +4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}=r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}},$

Aus (10.) und (11.) aber ergiebt sich sofort:

(12.)

$\sigma =\omega =-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2},\ {\overset {II}{\omega }}=0.$

Höchst überraschender Weise sind wir hiermit^[2] zu genau demselben Werthe der Function $\sigma$ gelangt, zu welchem eine frühere, von völlig andern Gesichtspuncten ausgehende Betrachtung bereits hindrängte. Denn der in (12.) für $\sigma$ gefundene Werth stimmt vollständig überein mit demjenigen, der dieser Function $\sigma$ zuertheilt werden musste, um das für die elektromotorischen Kräfte eldy. Us entwickelte Elementargesetz auch für solche Ströme, die mit Gleitstellen behaftet sind, in Einklang zu bringen mit dem von meinem Vater aufgestellten Integralgesetz (vergl. pag. 155).

Diese Uebereinstimmung aber dürfte, weil jenes Integralgesetz auch für den Fall von Gleitstellen experimentell geprüft und bestätigt worden ist, als ein gewichtiges Indicium anzusehen sein für die Zuverlässigkeit der von uns angestellten Betrachtungen.

Um sämmtliche Functionen von $r$, mit denen wir es zu thun haben, zusammenzustellen, sind zu (12.) noch hinzuzufügen die Formeln (pag. 44):

(13.)

${\begin{array}{l}\varrho =4A^{2}\cdot {\frac {2}{r}}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}-4A^{2}\cdot {\frac {d}{dr}}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2},\\\\{\overset {II}{\varrho }}=-4A^{2}\cdot {\frac {2}{r}}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}.\end{array}}$

Vermittelst (12.) und (13.) können sämmtliche Functionen $\sigma ,\omega ,{\overset {II}{\omega }},\varrho ,{\overset {II}{\varrho }}$ ausgedrückt werden durch $\psi$. Bequemer aber wird es offenbar sein, die Function

(14.)

$\omega =-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}$

in den Vordergrund zu bringen, und durch diese die übrigen auszudrücken. Man erhält alsdann:

(15.)

${\begin{array}{l}{\overset {II}{\omega }}=0,\\\sigma =\omega ,\\\\\varrho =-{\frac {2\omega }{r}}+{\frac {d\omega }{dr}},\\\\{\overset {II}{\varrho }}=+{\frac {2\omega }{r}}.\end{array}}$

Durch Substitution dieser Werthe in das für die elektromotorischen Kräfte entwickelte Elementargesetz, gewinnt jenes Gesetz (pag. 180) folgende einfachere Gestalt:

„Sind $A$ und $B$ irgend zwei in Bewegung begriffene Körper, ferner $m_{0}$ irgend ein Punct von $A$, und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ irgend ein Volumelement von $B$, und sollen in Bezug auf ein ebenfalls in beliebiger Bewegung begriffenes Axensystem ($x,y,z$) die Componenten

$X_{0}^{1}dt,\ Y_{0}^{1}dt,\ Z_{0}^{1}dt$

derjenigen elektromotorischen Kraft eldy. Us angegeben werden, welche ${\mathsf {Dv}}_{1}$ während der Zeit $dt$ in $m_{0}$ hervorbringt, so bilde man zunächst die Richtungscosinus

(16.a)

$\mathrm {A} ={\frac {x_{0}-x_{1}}{r}},\ \mathrm {B} ={\frac {y_{0}-y_{1}}{r}},\ \Gamma ={\frac {z_{0}-z_{1}}{r}},$

wo $x_{0},y_{0},z_{0}$ die Coordinaten von $m_{0}$, ferner $x_{1},y_{1},z_{1}$ diejenigen von $m_{1}$ und $r$ die Entfernung zwischen $m_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorstellen;“

„sodann bilde man mit Bezug auf die in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandenen Strömungscomponenten $u_{1},v_{1},w_{1}$ die Ausdrücke:

(16.b)

$j_{1}=\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} u_{1}+\Gamma w_{1},$ ${\begin{array}{lll}\Omega '=\omega \mathrm {A} j_{1},&&{\mathsf {P}}'={\frac {2\omega }{r}}\left(u_{1}-\mathrm {A} j_{1}\right)+{\frac {d\omega }{dr}}\mathrm {A} j_{1},\\\\\Omega ''=\omega \mathrm {B} j_{1},&&{\mathsf {P}}''={\frac {2\omega }{r}}\left(v_{1}-\mathrm {B} j_{1}\right)+{\frac {d\omega }{dr}}\mathrm {B} j_{1}\\\\\Omega '''=\omega {\mathsf {\Gamma }}j_{1},&&{\mathsf {P}}'''={\frac {2\omega }{r}}\left(w_{1}-\Gamma j_{1}\right)+{\frac {d\omega }{dr}}\Gamma j_{1};\end{array}}$

von jenen gesuchten Componenten wird alsdann die erste folgenden Werth besitzen:

(16.c)

${\begin{array}{rr}X_{0}^{1}dt&={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {(\delta \Omega '+\Omega ''\delta \gamma _{0}-\Omega '''\delta \beta _{0})-{\mathsf {P}}'\delta r}{2}}+\Delta \Omega '\right)\\\\&+{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {\omega \left[\mathrm {A} \delta j_{1}-j_{1}\left(\delta \mathrm {A} +\mathrm {B} \delta \gamma _{0}-\Gamma \delta \beta _{0}\right)\right]}{2}},\end{array}}$

wo $\delta \alpha _{0},\delta \beta _{0},\delta \gamma _{0}$ die Drehungen des Körpers $A$ während der Zeit $dt$ bezeichnen respective um die Axen $x,y,z$.“

Beachtet man nun aber die aus (16.b) entspringenden Relationen:

${\begin{array}{rl}\Omega ''\delta \gamma _{0}-\Omega '''\delta \beta _{0}=&\omega j_{1}\left(\mathrm {B} \delta \gamma _{0}-\Gamma \delta \beta _{0}\right),\\\\\delta \Omega '-{\mathsf {P}}'\delta r=&\omega \delta \left(\mathrm {A} j_{1}\right)-{\frac {2\omega }{r}}\left(u_{1}-\mathrm {A} j_{1}\right)\delta r,\\\\\Delta \Omega '=&\omega \mathrm {A} \Delta j_{1},\end{array}}$

so reducirt sich die Formel (16.c) auf:

$X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\omega }{2}}\delta \left(\mathrm {A} j_{1}\right)-{\frac {\omega }{r}}\left(u_{1}-\mathrm {A} j_{1}\right)\delta r+\omega \mathrm {A} \Delta j_{1}\right)+{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {\omega }{2}}\left(\mathrm {A} \delta j_{1}-j_{1}\delta \mathrm {A} \right),$

oder (was dasselbe) auf:

$X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[\omega \mathrm {A} \left(\delta j_{1}+\Delta j_{1}\right)+{\frac {\omega \left(\mathrm {A} j_{1}-u_{1}\right)\delta r}{r}}\right].$

Hiefür aber kann, weil $\delta j_{1}+\Delta j_{1}=dj_{1}$ und $\delta r=dr$ ist, auch geschrieben werden:

$X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[\omega \mathrm {A} \ dj_{1}+{\frac {\omega \left(\mathrm {A} j_{1}-u_{1}\right)dr}{r}}\right],$

oder auch:

$X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[\mathrm {A} \ {\frac {\omega d\left(rj_{1}\right)}{r}}-u_{1}{\frac {w\ dr}{r}}\right],$

oder mit Rücksicht auf (16.a):

(17.a)

${\begin{array}{ll}X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}{\frac {\omega d\left(j_{1}r\right)}{r}}-u_{1}{\frac {\omega dr}{r}}\right].&\mathrm {Ebenso\ wird:} \\\\Y_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {y_{0}-y_{1}}{r}}{\frac {\omega d\left(j_{1}r\right)}{r}}-v_{1}{\frac {\omega dr}{r}}\right],\\\\Z_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {z_{0}-z_{1}}{r}}{\frac {\omega d\left(j_{1}r\right)}{r}}-w_{1}{\frac {\omega dr}{r}}\right].\end{array}}$

Hier kann $j_{1}$ bezeichnet werden als die Componente der in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandenen elektrischen Strömung $u_{1},\ v_{1},\ w_{1}$, genommen nach $r$; denn es ist nach (16.a,b):

(17.b)

$j_{1}={\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)u_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)v_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)w_{1}}{r}}.$

Diese Formeln (17.a,b) repräsentiren das Elementargesetz der elektromotorischen Kräfte elektrodynamischen Ursprungs in seiner definitiven Gestaltung, und zwar für den allgemeinsten Fall, dass beide Körper, der inducirende wie der inducirte, von beliebiger Gestalt und Grösse sind. Dabei ist von Neuem zu bemerken, dass das den Formeln zu Grunde gelegte rechtwinklige Axensystem ($x,y,z$), ebenso wie in (16.a,b,c), weder absolut fest, noch auch starr verbunden zu sein braucht mit einem der beiden Körper, sondern vielmehr begriffen gedacht werden kann in irgend welcher eigenen Bewegung. Diese definitiven Formeln (17.a,b) zeichnen sich gegenüber den frühern Formeln (16.a,b,c) in vortheilhafter Weise dadurch aus, dass sie nur mit den wirklichen oder totalen Aenderungen $d$ nicht aber mit den partiellen Aenderungen $\delta ,\Delta$ behaftet sind. Versuchen wir das in diesen Formeln (17.a,b) enthaltene Resultat möglichst einfach und übersichtlich darzulegen, so werden wir uns etwa in folgender Weise auszudrücken haben:

Das Elementargesetz für die elektromotorischen Kräfte elektrodynamischen Ursprungs^[3]. Sind zwei Körper $A$ und $B$ in beliebigen Bewegungen begriffen, während gleichzeitig im Innern eines jeden irgend welche elektrische Vorgänge stattfinden, und bezeichnet $m_{0}$ einen Punct des Körpers $A$, ferner ${\mathsf {Dv}}_{1}$ ein Volumelement von $B$, so wird die von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ im Puncte $m_{0}$ während der Zeit $dt$ hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us im Allgemeinen immer zusammengesetzt sein aus zwei Kräften. Die eine derselben fällt in die Richtung der gegenseitigen Entfernung $r$, und besitzt die Stärke:

(18.a)

$+{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {\omega d\left(j_{1}r\right)}{r}},$

wo $j_{1}$ die Componente der in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandenen elektrischen Strömung $i_{1}$ bezeichnet, genommen nach $r$, und zwar nach derjenigen Richtung von $r$, in welcher die Kraft gerechnet ist. Die andere ist parallel mit der Strömung $i_{1}$, und besitzt, in der Richtung von $i_{1}$ gerechnet, die Stärke:

(18.b)

$-{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {\omega i_{1}dr}{r}}.$

Dabei ist unter $\omega$ die Function zu verstehen

(18.c)

$\omega =-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2};$

so dass also dieses $\omega$ für beträchtliche Entfernungen identisch ist mit $-{\tfrac {A^{2}}{r}}$.

Gehören $m_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ ein und demselben Körper an, und bedient man sich eines Axensystemes ($x,y,z$), welches mit diesem Körper starr verbunden ist, so sind $x_{0},y_{0},z_{0},x_{1},y_{1},z_{1},r$ unveränderlich; so dass man also in diesem Falle aus (17.a,b) erhält:

${\begin{array}{rl}X_{0}^{1}dt=&{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}{\frac {\omega d\left(j_{1}r\right)}{r}},\\\\j_{1}r=&\left(x_{0}-x_{1}\right)u_{1}-\left(y_{0}-y_{1}\right)v_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)w_{1},\end{array}}$

folglich:

(19.)

${\begin{array}{ll}X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \omega {\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)du_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)dv_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)dw_{1}}{r}},&\mathrm {und\ eben} :\\\\Y_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \omega {\frac {y_{0}-y_{1}}{r}}{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)du_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)dv_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)dw_{1}}{r}},\\\\Z_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \omega {\frac {z_{0}-z_{1}}{r}}{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)du_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)dv_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)dw_{1}}{r}}.\end{array}}$

Diese Formeln stimmen für beträchtliche Entfernungen, weil für solche $\omega =-{\frac {A^{2}}{r}}$ ist, vollkommen überein mit den von Kirchhoff für eben denselben Fall aufgestellten^[4].

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1. Ist z. B. in irgend einem Augenblick des in Rede stehenden Zustandes die in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandene elektrische Strömung $u_{1},\ v_{1},\ w_{1}$ parallel mit einer der drei Axen $x,y,z$, so wird sie während jenes Zustandes mit dieser Axe fortdauernd parallel bleiben.
2. Durch (12.) ist zugleich der früher (Note, pag. 183) in Aussicht gestellte Nachweis dafür geliefert, dass ${\overset {II}{\omega }}$ identisch mit Null, folglich die Helmholtz’sche Constante $k$ identisch mit −1 sein muss.
3. In ungefähr derselben Form habe ich das Gesetz bereits am 3. August 1872 der Kgl. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften mitgetheilt. Vergl. die betreffenden Berichte, pag. 21, 22; ferner auch eine Notiz in den Mathematischen Annalen, Bd. V, pag. 619. — Für den Fall beträchtlicher Entfernung wird $\omega =-{\frac {A^{2}}{r}}$; so dass also in diesem Fall die Kräfte (18.a, b) die Werthe an nehmen:
   ${\begin{array}{c}-A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {d\left(j_{1}r\right)}{r^{2}}},\\\\+A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {i_{1}dr}{r^{2}}}.\end{array}}$

   Diese Formeln aber sind es, welche ich der Kgl. Ges. d. Wissensch. damals mittheilte. Absichtlich hatte ich mich nämlich damals, um einen vorläufigen Ueberblick meiner Untersuchungen möglichst zu erleichtern, beschränkt auf den Fall einer beträchtlichen Entfernung.

4. Für $\omega =-{\tfrac {A^{2}}{r}}$ erhält man nämlich:
   $X_{0}^{1}dt=-A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {(x_{0}-x_{1})\left[\left(x_{0}-x_{1}\right)du_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)dv_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)dw_{1}\right]}{r^{3}}}$

   ähnliche Werthe für $Y_{0}^{1}dt,\ Z_{0}^{1}dt$. Diese aber sind, falls man die Constante $A^{2}$ mit ${\tfrac {8}{c^{2}}}$ bezeichnet, identisch mit den von Kirchhoff angegebenen (Poggendorff’s Annalen, Bd. 102, pag. 530).