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	Vladimir Varićak: Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie

$\mathrm {sh} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z=\mathrm {sh} \,c_{1}$

(12)

und

$Z=\mathrm {sh} ^{-1}c_{2}.$

(13)

Ihre Mittelebenen sind die Koordinatenebenen $XZ$ und $XY$.

Die Lorentz-Einsteinsche Transformation läßt sich deuten als eine Translation längs der Durchschnittslinie dieser zwei äquidistanten Flächen.

Um die Sache zu vereinfachen, setzen wir $Z=0$ und so werden die Weierstraßschen Koordinaten eines Punktes in der Ebene

$\left.{\begin{array}{l}x=\mathrm {sh} \,\xi =\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,Y,\\y=\mathrm {sh} \,\eta =\mathrm {sh} \,Y,\\l=\mathrm {ch} \,r=\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y.\end{array}}\right\}$

(14)

Die Lorentz-Einsteinsche Transformation

$\left.{\begin{array}{c}l'=-x\,\mathrm {sh} \,u+l\,\mathrm {ch} \,\ u,\\x'=x\,\mathrm {ch} \,u-l\,\mathrm {sh} \,\ u\\y'=y,\ z'=z=0\end{array}}\right\}$

(15)

definiert eine Bewegung längs der Abstandslinie $Y=b$, welche die $X$-Achse zur Mittellinie hat. Der Parameter $b$ ist beliebig.

Die Schiebung um die Strecke $s$ längs dieser äquidistanten Linie ist bestimmt durch die Gleichungen^[1]

$X'=X-{\frac {s}{\mathrm {ch} \,b}},\ Y'=Y.$

(16)

Fig. 2.

Hier ist $s$ der Bogen $MM'$ dieser Abstandslinie. Sei $u$ seine Projektion $NN'$ in die $X$-Achse, dann ist

$X'=X-u,\ Y'=Y,$

(17)

also

$\left.{\begin{array}{l}\mathrm {sh} \,X'=\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,u-\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {sh} \,u\\\mathrm {sh} \,Y'=\mathrm {sh} \,Y.\end{array}}\right\}$

(18)

Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit

$\mathrm {ch} \,Y'=\mathrm {ch} \,Y$

erhält man

$\left.{\begin{array}{rl}\mathrm {sh} \,X'\,\mathrm {ch} \,Y'=&\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,u-\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {sh} \,u\\\mathrm {sh} \,Y'=&\mathrm {sh} \,Y.\end{array}}\right\}$

(19)

Nach der Fig. 2 ist es weiter

$\mathrm {ch} \,OM'=\mathrm {ch} \,X'\,\mathrm {ch} \,Y',$

(20)

oder

$\left.{\begin{array}{c}\mathrm {ch} \,r'=\mathrm {ch} \,(X-u)\mathrm {ch} \,Y=\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,u\\-\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {sh} \,U.\end{array}}\right\}$

(21)

Berücksichtigt man die Gleichungen (14), so kann man (19) und (21) auf die Form

${\begin{array}{l}x'=x\ \mathrm {ch} \,u-l\ \mathrm {sh} \,u,\ y'=y\\l'=-x\ \mathrm {sh} \,u+l\ \mathrm {ch} \,u,\end{array}}$

bringen und dies sind eben die Gleichungen (15) der Lorentz-Einsteinschen Transformation.

3. Die Ortszeit.

Sind in $M$ und $M'$ zwei Beobachter, die sich mit gleichförmigen, aber verschiedenen Geschwindigkeiten bewegen, so kann jeder der beiden mit genau dem nämlichen Rechte behaupten, daß er relativ zum leeren Raume ruht. Daß aber der Beobachter in $M$ eine andere Zeitrechnung als der Beobachter in $M'$ besitzt, ersieht man aus der obigen Figur, denn es ist $r$ verschieden von $r'$. Der hyperbolische Kosinus vom Radiusvektor des Punktes, in dem sich der Beobachter befindet, ist nach unserer Festsetzung seine Ortszeit. Die Auffassung des neuen Zeitbegriffs^[2] wird durch diese Interpretation wesentlich erleichtert. Sie wirkt fast intuitiv. Es erübrigt nur noch, zu untersuchen, ob sie wohl dasselbe wird leisten können, was die einfache und sehr suggestive Minkowskische Koordinatentransformation vermag.

Der Punkt $M$ kann jede Lage auf jener Abstandslinie einnehmen. Nehmen wir ihn so, daß $u$ gleich seiner Abszisse wird, d. h. daß der Punkt $M'$ in den Durchschnittspunkt der Abstandslinie mit der Ordinatenachse fällt oder verlegen wir den Koordinatenanfangspunkt nach

Fig. 3.

$N'$. Die durch eine gleichförmige Bewegung

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1. Über die Transformationen der Lobatschefskijschen Ebene siehe meine diesbezüglichen Arbeiten im Rad jugoslavenske akademije 165, 50–80, 236–244, 1906, oder den kurzen Auszug daraus im Jahresber. d. deutsch. Mathematikerver. 17, 70–83‚ 1908.
2. Planck‚ Acht Vorlesungen über theoretische Physik, S. 117, sagt, daß diese neue Auffassung des Zeitbegriffs an Kühnheit alles übertrifft, was bisher in der spekulativen Naturforschung und philosophischen Erkenntnistheorie geleistet wurde; die nichteuklidische Geometrie, die bisher nur für die reine Mathematik in Betracht käme, wäre ein Kinderspiel dagegen.

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie. S. Hirzel, Leipzig 1910, Seite 290. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1910b.djvu/4&oldid=- (Version vom 1.8.2018)