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	Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip

gesetzt ist. Es wird also $\textstyle {\eta ={\frac {T}{4}}}$ für $r=R$ und $\eta =0$ wenn $r$ sehr groß gegen die Wellenlänge $T\omega$ ist.

Die fortgepflanzten Verrückungen folgen aus $\psi$ durch:

$U=0,\ V=-\psi z,\ W=\psi y;$

wir setzen kurz:

$U=0,\ V=MC,\ W=NC.$

Setzt man hierin für $x$, $y$, $z$ die Werthe $\xi$, $\eta$, $\zeta$ nach (10), so wird der periodische Theil $C$:

$(C)=\cos {\frac {2\pi }{T}}\left(t-{\frac {\chi x}{\omega ^{2}}}-{\frac {1}{\omega }}\left({\sqrt {(x-\chi t)^{2}+y^{2}+z^{2}}}-R\right)-(\eta )\right){,}$

17)

${\text{falls }}\operatorname {cotg} {\frac {2\pi (\eta )}{T}}={\frac {2\pi }{T\omega }}\left({\sqrt {(x-\chi t)^{2}+y^{2}+z^{2}}}-R\right){\text{ ist.}}$

Für $(x-\chi t)^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ d. h. an der Oberfläche einer mit der Geschwindigkeit $x$ parallel der $X$-Axe verschobenen Kugel wird dies

$({\overline {C}})=\sin {\frac {2\pi }{T}}\left(t\left(1-{\frac {\chi ^{2}}{\omega ^{2}}}\right)-{\frac {\chi }{\omega ^{2}}}{\sqrt {R^{2}-y^{2}-z^{2}}}\right)$

also, da nach der Annahme $\textstyle {\frac {\chi ^{2}}{\omega ^{2}}}$ und $\textstyle {\frac {\chi R}{\omega ^{2}}}$ zweiter Ordnung ist:

$({\overline {C}})=\sin {\frac {2\pi t}{T}}.$

$(M)$ und $(N)$ haben denselben Werth, als ob die kleine Kugel um die zur Zeit $t$ erreichte Position $x_{0}=\chi t$ als Gleichgewichtslage oscillirte. Wir erhalten demnach durch $(U)$, $(V)$, $(W)$ die von einem in fortschreitender Geschwindigkeit $\chi$ parallel der Richtung der Rotationsaxe befindlichen durch Rotation »leuchtendem Punkte« ausgesandte Bewegung gegeben.

Die fortgepflanzten Wellenflächen beurtheilen sich nach dem Werth (17) für $(C)$, der sich unter Einführung der relativen Coordinaten gegen den bewegten leuchtenden Punkt $\xi =x-\chi t$, $y=\eta$, $z=\zeta$ schreiben läßt bei Vernachlässigung von $\textstyle {\frac {\chi ^{2}}{\omega ^{2}}}$ neben 1 und für gegen $T\omega$ großes $r$:

$(C)=\cos {\frac {2\pi }{T}}\left(t-{\frac {\chi \xi }{\omega ^{2}}}-{\frac {1}{\omega }}\left({\sqrt {\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}}-R\right)\right).$

Empfohlene Zitierweise:
Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 49. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/9&oldid=- (Version vom 1.8.2018)