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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

An der Kugeloberfläche sei $r=r_{a},\ x=x_{a},\ \eta =\eta _{a}$ usw. Die Stetigkeit von $\eta$ und $\zeta$ kann stets durch nachträgliche geeignete Bestimmung der Konstanten $\alpha$ und $\rho$ in (14) gewahrt werden. Damit auch die Derivierten stetig bleiben und gemäß (15) $\left({\frac {d\eta }{dx}}\right)_{a}=3$ und $\left({\frac {d\zeta }{dx}}\right)_{a}=\eta _{a}^{-2/3}$ wird, muß nach (16) und (18) sein:

$\gamma =\rho _{0}\zeta _{a}^{1/2}\eta _{a}^{-1/6},\ \zeta _{a}=\eta _{a}^{1/3}-{\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\eta _{a}+\lambda .$

(21)

Daraus folgt

$\zeta _{a}\eta _{a}^{-1/3}=\left(f_{4}\right)_{a}=1-{\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\eta _{a}^{2/3}+\lambda \eta _{a}^{-1/3}.$

Also

$\gamma =\rho _{0}{\sqrt {\left(f_{4}\right)_{a}}}.$

(22)

Man sieht aus dem Vergleich mit (10), daß hiermit auch die Bedingung $p=0$ an der Oberfläche befriedigt ist. Die Forderung $\left({\frac {d\eta }{dx}}\right)_{a}=3$ liefert folgende Bestimmung für die Integrationsgrenzen in (19):

${\frac {3dx}{d\eta }}=1-{\frac {\varkappa \gamma }{6}}\int \limits _{\eta }^{\eta a}{\frac {\eta ^{1/6}d\eta }{\left(\eta ^{1/3}-{\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\eta +\lambda \right)^{3/2}}}$

(23)

und damit erfährt (20) die folgende Bestimmung der Integrationsgrenzen:

$3\left(x-x_{a}\right)=\eta -\eta _{a}+{\frac {\varkappa \gamma }{6}}\int \limits _{\eta }^{\eta a}d\eta \int \limits _{\eta }^{\eta a}{\frac {\eta ^{1/6}d\eta }{\left(\eta ^{1/3}-{\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\eta +\lambda \right)^{3/2}}}.$

(24)

Die Oberflächenbedingungen sind hiermit sämtlich erfüllt. Unbestimmt sind noch die beiden Konstanten $\eta _{a}$ und $\lambda$, welche durch die Stetigkeitsbedingungen im Nullpunkt festgelegt werden.

Wir müssen zunächst fordern, daß für $x=0$ auch $\eta =0$ wird. Wäre das nicht der Fall, so wäre $f_{2}$ im Nullpunkt eine endliche Größe, und eine Winkeländerung $d\phi =dx_{3}$ im Nullpunkt, welche in Wirklichkeit gar keine Bewegung bedeutet, würde einen Beitrag zum Linienelement geben. Damit folgt aus (24) die Bedingung zur Festlegung von $\eta _{a}$:

$3x_{a}=\eta _{a}-{\frac {\varkappa \gamma }{6}}\int \limits _{0}^{\eta a}d\eta \int \limits _{\eta }^{\eta a}{\frac {\eta ^{1/6}d\eta }{\left(\eta ^{1/3}-{\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\eta +\lambda \right)^{3/2}}}.$

(25)

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 429. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/6&oldid=- (Version vom 1.8.2018)