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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

In großer Entfernung erfolgt die Bewegung des Punktes nach dem Newtonschen Gesetz, wobei $\alpha /2k^{2}$ die Rolle der anziehenden Masse spielt. Es kann daher $\alpha /2k^{2}$ als »Gravitationsmasse« unserer Kugel bezeichnet werden.

Läßt man ferner einen Punkt aus der Ruhe im Unendlichen bis zur Kugeloberfläche herabfallen, so erhält, die »natürlich gemessene« Fallgeschwindigkeit den Betrag:

$v_{a}={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha /R}}}{\frac {dR}{ds}}={\sqrt {\frac {\alpha }{R_{a}}}}.$

Es ist also nach (40):

$v_{a}=\sin \chi _{a}.\,$

(42)

Für die Sonne ist die Fallgeschwindigkeit rund 1/500 Lichtgeschwindigkeit. Man überzeugt sich leicht, daß bei dem kleinen hieraus sich ergebenden Wert von $\chi _{a}$ und $\chi \left(<\chi _{a}\right)$ alle unsre Gleichungen bis auf die bekannten Einsteinschen Effekte zweiter Ordnung in die der Newtonschen Theorie übergehen.

3. Für das Verhältnis der Gravitationsmasse $\alpha /2k^{2}$ zur substantiellen Masse $M$ findet man

${\frac {\alpha }{2k^{2}M}}={\frac {2}{3}}{\frac {\sin ^{3}\chi _{a}}{\chi _{a}-{\frac {1}{2}}\sin 2\chi _{a}}}.$

(43)

Mit wachsender Fallgeschwindigkeit $v_{a}\left(=\sin \chi _{a}\right)$, wachsender Massenkonzentration nimmt hiernach das Verhältnis der Gravitationsmasse zur substantiellen Masse ab. Es erklärt sich dies daraus, daß z. B. bei konstanter Masse und zunehmender Dichte der Übergang zu kleinerem Radius unter Energieabgabe (Verminderung der Temperatur durch Ausstrahlung) erfolgt.

4. Die Lichtgeschwindigkeit in unserer Kugel wird:

$v={\frac {2}{3\cos \chi _{a}-\cos \chi }},$

(44)

sie wächst also vom Betrag

${\tfrac {1}{\cos \chi _{a}}}$

an der Oberfläche bis zum Betrag

${\tfrac {2}{3\cos \chi _{a}-1}}$

im Mittelpunkt. Die Druckgröße $\rho _{0}+p$ wächst nach (10) und (30) proportional der Lichtgeschwindigkeit.

Im Kugelmittelpunkt $(\chi =0)$ werden Lichtgeschwindigkeit und Druck unendlich, sobald $\cos \chi _{a}=1/3$, die Fallgeschwindigkeit gleich ${\sqrt {8/9}}$ der (natürlich gemessenen) Lichtgeschwindigkeit geworden ist. Es

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 433. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/10&oldid=- (Version vom 1.8.2018)