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	Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe

Bezeichnet man durch $\alpha$ jede Wurzel der Gleichung $\xi (\alpha )=0\,$, so kann man $\log \xi (t)\,$ durch

$\sum \log \left(1-{\frac {tt}{\alpha \alpha }}\right)+\log \xi (0)$

ausdrücken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von der Größe $t$ mit $t$ nur wie $\log {\frac {t}{2\pi }}$ wächst, so convergirt dieser Ausdruck und wird für ein unendliches $t$ nur unendlich wie $t\log t\,$; er unterscheidet sich also von $\log \xi (t)\,$ um eine Function von $tt$, die für ein endliches $t$ stetig und endlich bleibt und mit $tt$ dividirt für ein unendliches $t$ unendlich klein wird. Dieser Unterschied ist folglich eine Constante, deren Werth durch Einsetzung von $t=0$ bestimmt werden kann.

Mit diesen Hülfsmitteln läßt sich nun die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als $x$ sind, bestimmen.

Es sei $F(x)\,$, wenn $x$ nicht gerade einer Primzahl gleich ist, gleich dieser Anzahl, wenn aber $x$ eine Primzahl ist, um ${\tfrac {1}{2}}$ größer, so daß für ein $x$, bei welchem $F(x)\,$ sich sprungweise ändert,

$F(x)={\frac {F(x+0)+F(x-0)}{2}}.$

Ersetzt man nun in

$\log \zeta (s)=-\sum \log(1-p^{-s})=\sum p^{-s}+{\frac {1}{2}}\sum p^{-2s}+{\frac {1}{3}}\sum p^{-3s}+\ldots$

$p^{-s}\,$ durch $s\int _{p}^{\infty }x^{-s-1}dx$, $p^{-2s}\,$ durch $s\int _{p^{2}}^{\infty }x^{-s-1}dx,\ldots$,

so erhält man

${\frac {\log \zeta (s)}{s}}=\int \limits _{1}^{\infty }f(x)x^{-s-1}dx$,

wenn man

$F(x)+{\frac {1}{2}}F(x^{\frac {1}{2}})+{\frac {1}{3}}F(x^{\frac {1}{3}})+\ldots$

durch $f(x)\,$ bezeichnet.

Diese Gleichung ist gültig für jeden complexen Werth $a+bi\,$ von $s$, wenn $a>1\,$. Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung

$g(s)=\int \limits _{0}^{\infty }h(x)x^{-s}d\log x$

Empfohlene Zitierweise:
Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 675. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/5&oldid=- (Version vom 1.8.2018)