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	Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe

Größen enthält erstreckt werden, da das Integral durch Werthe mit unendlich großem Modul dann unendlich klein ist. Im Innern dieses Größengebiets aber wird die Function unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn $x$ gleich einem ganzen Vielfachen von $\pm 2\pi i$ wird und das Integral ist daher gleich der Summe der Integrale negativ um diese Werthe genommen. Das Integral um den Werth $n2\pi i\,$ aber ist $\,=(-n2\pi i)^{s-1}(-2\pi i)$; man erhält daher

$2\sin \pi s\prod (s-1)\zeta (s)=(2\pi )^{s}\sum n^{s-1}{\bigl (}(-i)^{s-1}+i^{s-1}{\bigr )},$

also eine Relation zwischen $\zeta (s)$ und $\zeta (1-s)$, welche sich mit Benutzung bekannter Eigenschaften der Function $\prod$ auch so audrücken läßt:

$\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)$

bleibt ungeändert, wenn $s$ in $1-s$ verwandelt wird.

Diese Eigenschaft der Function veranlaßte mich statt $\prod (s-1)$ das Integral $\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)$ in dem allgemeinen Gliede der Reihe $\sum {\frac {1}{n^{s}}}$ einzuführen, wodurch man einen sehr bequemen Ausdruck der Function $\zeta (s)$ erhält. In der That hat man

${\frac {1}{n^{s}}}\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-nn\pi x}x^{{\frac {s}{2}}-1}dx,$

also, wenn man

$\sum _{1}^{\infty }e^{-nn\pi x}=\psi (x)$

setzt,

$\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)=\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)x^{{\frac {s}{2}}-1}dx,$

oder da $2\psi (x)+1=x^{-{\frac {1}{2}}}\left(2\psi \left({\frac {1}{x}}\right)+1\right),$ (Jacobi. Fund. S. 184)^[1]

$\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)=\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)x^{{\frac {s}{2}}-1}dx+\int \limits _{0}^{1}\psi \left({\frac {1}{x}}\right)x^{{\frac {s}{2}}-{\frac {3}{2}}}dx$^[2]

$+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\left(x^{{\frac {s}{2}}-{\frac {3}{2}}}-x^{{\frac {s}{2}}-1}\right)dx$

$={\frac {1}{s(s-1)}}+\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)\left(x^{{\frac {s}{2}}-1}+x^{-{\frac {1}{2}}-{\frac {s}{2}}}\right)dx.$

Anmerkungen (Wikisource)

1. Riemann bezieht sich auf Carl Gustav Jacob Jacobi:_(WP) Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Königsberg 1829, S. 184, § 65, Nr. 6. Die verwendete Formel ist dort allerdings nicht explizit angegeben, Jacobi folgert diese aber an anderer Stelle in seinem Aufsatz Suite des notices sur les fonctions elliptiques. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 3 (1828), Seite 303-310 Quellen
2. In den Monatsberichten beim ersten Integral $(x)\psi \,$ statt $\psi (x)\,$:
   $\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)=\int \limits _{1}^{\infty }(x)\psi x^{{\frac {s}{2}}-1}dx+\int \limits _{0}^{1}\psi \left({\frac {1}{x}}\right)x^{{\frac {s}{2}}-{\frac {3}{2}}}dx$

Empfohlene Zitierweise:
Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 673. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/3&oldid=- (Version vom 18.8.2016)