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	Hendrik Antoon Lorentz: Das Relativitätsprinzip

wobei man beachten muß, daß $x'=x,\ y'=y,\ z'=az\,$ und $r'^{2}=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\,$ ist. Die Integration wird etwas einfacher, wenn man den Wert dS’ einführt, den B dem Volumelement dS zuschreibt:

(13)	$dS={\frac {1}{a}}dS'.\,$

Wir können dann nach x', y', z’ über den Raum außerhalb des Elektrons integrieren, wobei wir berücksichtigen, daß dieses im System x', y', z’ eine Kugel mit dem Radius R und mit dem Mittelpunkt im Ursprung ist.

Aus dem Umstande, daß in den ersten und zweiten Ausdrücken von (12) nur ungerade Potenzen von x', y', z’ vorkommen, ergibt sich unmittelbar, daß die Integration von $\mathbf {G} _{x}\,$, und von $\mathbf {G} _{y}\,$ 0 liefert, so daß die resultierende Bewegungsgröße längs der z-Achse gerichtet ist. Die Integration von $\mathbf {G} _{z}\,$ ist weiter leicht auszuführen. Man beachte z. B., daß, falls $f(r')\,$ eine beliebige Funktion von r’ ist, die drei Integrale

$\int x'^{2}f(r')dS',\ \int y'^{2}f(r')dS',\ \int z'^{2}f(r')dS'\,$

einander gleich sind, und daß jedes derselben also gleich einem Drittel der Summe sein muß. Weiter ist

${\tfrac {1}{3}}\int r'^{2}f(r')dS'={\tfrac {4}{3}}\pi \int \limits _{R}^{\infty }r'^{4}f(r')dr'.\,$

Wendet man diese Beziehung auf den letzten der Ausdrücke (12) an, so bekommt man den durch (34) und (35) bestimmten Wert.

2. Transformationsformeln für die Bewegungsgröße und für die Kraftkomponenten. Energie eines materiellen Punktes.

Im System x, y, z, t werden die Komponenten der Bewegungsgröße eines materiellen Punktes bestimmt durch

(14)	$\mathbf {G} _{x}={\frac {m\mathbf {v} _{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\ \mathbf {G} _{y}={\frac {m\mathbf {v} _{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\ \mathbf {G} _{z}={\frac {m\mathbf {v} _{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,$

und die Kraftkomponenten durch

(15)	$\mathbf {F} _{x}={\frac {d\mathbf {G} _{x}}{dt}},\ \mathbf {F} _{y}={\frac {d\mathbf {G} _{y}}{dt}},\ \mathbf {F} _{x}={\frac {d\mathbf {G} _{x}}{dt}}.\,$

Man überzeugt sich leicht davon, daß

(16)	$\mathbf {v} _{x}\mathbf {F} _{x}+\mathbf {v} _{y}\mathbf {F} _{y}+\mathbf {v_{z}} \mathbf {F} _{z}={\frac {d\varepsilon }{dt}}\,$

ist, falls man

$\varepsilon ={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,$

Empfohlene Zitierweise:
Hendrik Antoon Lorentz: Das Relativitätsprinzip. B.G. Teubner, Leipzig und Berlin 1914, Seite 42. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Relativitaetsprinzip_(Lorentz).djvu/44&oldid=- (Version vom 1.8.2018)