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	Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903)

Den Gleichungen (10), (10c) des vorigen Paragraphen zufolge hat dasselbe der Differentialgleichung zu genügen:

(13)	$(1-\beta ^{2}){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=-4\pi \varrho (1-\beta ^{2})$

Bei der Lösung derselben bedienen wir uns eines von H. A. Lorentz,^[1] sowie auch von Searle^[2] angewandten Abbildungsverfahrens. Wir bilden das bewegte System S, nämlich das kugelförmige Elektron und das Feld seines Konvektionspotentiales, auf ein ruhendes System S' ab durch die Transformation

(13a)

$x'={\frac {x}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\ y'=y,\ z'=z$.

Das System S ' entsteht also, indem S parallel der Bewegungsrichtung im Verhältnis $1:{\sqrt {1-\beta ^{2}}}$ gestreckt wird. Die Ladung entsprechender Volumenelemente soll dabei die gleiche, also

(13b)

$\varrho '=\varrho {\sqrt {1-\beta ^{2}}}$

sein. Alsdann ergibt (13):

(13c)

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x'^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y'^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z'^{2}}}=-4\pi \varrho '{\sqrt {1-\beta ^{2}}}$.

Das elektrostatische Potential φ' im ruhenden Systeme S' hingegen erfüllt die Poissonsche Gleichung

(13d)

${\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x'^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y'^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial z'^{2}}}=-4\pi \varrho '$.

Mithin folgt

(13e)

$\varphi =\varphi '\cdot {\sqrt {1-\beta ^{2}}}$.

Diese Gleichung führt die Bestimmung des Konvektionspotentiales im bewegten Systeme S zurück auf die Bestimmung des elektrostatischen Potentiales in dem gemäß (13a), (13b) deformierten Systeme S'. Es folgt

$\int \int \int {\frac {dv\varrho \varphi }{2}}=\int \int \int {\frac {dv'\varrho '\cdot \varphi '}{2}}\cdot {\sqrt {1-\beta ^{2}}}$.

Schreiben wir

$W'_{e}=\int \int \int {\frac {dv'\varrho '\varphi '}{2}}$

für die elektrostatische Energie des Systemes S', so wird der Ausdruck (12a) für die Lagrangsche Funktion

$L=-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\cdot W'_{e}$.

1. H. A. Lorentz, l. c. p. 36. ff.
2. G. F. C. Searle, Phil. Mag. 44. p. 329. ff. (1897).

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903). Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1903, Seite 145. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Prinzipien_der_Dynamik_des_Elektrons_(1903).djvu/41&oldid=- (Version vom 20.8.2021)