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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

No. 58. S. 205. Dass hier eine hyperbolische Fläche und zwar zwischen den Asymptoten entstehe, ersieht man daraus, dass LA · LB constant, also = a² zu setzen ist. Bezeichnet man nun DL durch x, so wird die Ordinate y = $\scriptstyle {\frac {a^{2}}{x}}$ und die Fläche

$\scriptstyle \int \limits _{LA}^{LB}{\frac {a^{2}dx}{x}}=a^{2}\log \left({\frac {LB}{LA}}\right)$

No. 59. S. 206. Dies ergiebt sich unmittelbar wie im ersten Beispiel.

No. 60. S. 206. Setzt man LD = x, so wird die zu findende Fläche bestimmt durch $\scriptstyle {\frac {AL\cdot LB\cdot JS}{2}}\int \limits _{LA}^{LB}{\frac {dx}{x^{2}}}={\frac {AL\cdot LB\cdot JS}{2}}\left[-{\frac {1}{LB}}-\left(-{\frac {1}{LA}}\right)\right]={\frac {AL\cdot LB\cdot JS}{2\cdot AL}}-{\frac {AL\cdot LB\cdot JS}{2\cdot LB}}$.

No. 61. S. 206. Setzt man nämlich wieder LD = x, so erhält man nach der Reihe: $\scriptstyle {\frac {LS\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2}}}\int \limits _{LA}^{LB}{\frac {dx}{x^{\frac {3}{2}}}}={\frac {LS\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2}}}\left[-2\cdot LB^{-{\frac {1}{2}}}+2\cdot LA^{-{\frac {1}{2}}}\right]$ $\scriptstyle =LS\cdot JS^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2}}\left[{\frac {1}{LA^{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{LB^{\frac {1}{2}}}}\right]$; $\scriptstyle {\frac {JS^{\frac {3}{2}}}{2{\sqrt {2}}}}\int \limits _{LA}^{LB}{\frac {dx}{x^{\frac {1}{2}}}}={\frac {JS^{\frac {3}{2}}}{2{\sqrt {2}}}}2\left[LB^{\frac {1}{2}}-LA^{\frac {1}{2}}\right]$ $\scriptstyle ={\frac {LB^{\frac {1}{2}}\cdot JS^{\frac {3}{2}}-LA^{\frac {1}{2}}\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {2}}}$; $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {LA\cdot LB\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{2{\sqrt {2}}}}\int \limits _{LA}^{LB}{\frac {dx}{x^{\frac {3}{2}}}}}}$ $\scriptstyle ={\frac {LA\cdot LB\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{2{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2}{3}}\left[{\frac {1}{LA^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{LB^{\frac {3}{2}}}}\right]={\frac {LA\cdot LB\cdot JS^{\frac {3}{2}}}{3{\sqrt {2}}}}\left[{\frac {1}{LA^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{LB^{\frac {3}{2}}}}\right]$.

No. 62. S. 207. Denkt man sich von L eine Tangente LT an den Kreis gezogen (Fig. 116.), so wird LA · LB = LT² = LS² — ST² = (LJ + JS)² — AS² = LJ² + 2LJ · JS + JS² — AS² = LJ² + PJ · JS + JS² — AS² = LJ² + JH² + JS² — AS² = LJ² + SH² — AS² mithin LA · LB = LJ² oder

1.   LA : LJ = LJ : LB.

Hieraus folgt LA : LJ = $\scriptstyle {\sqrt {LA}}:{\sqrt {LB}}$ oder

2.   LA · $\scriptstyle {\sqrt {LB}}$ = LJ · $\scriptstyle {\sqrt {LA}}$

und ebenso LB : LJ = $\scriptstyle {\sqrt {LB}}:{\sqrt {LA}}$, oder

3. LB · $\scriptstyle {\sqrt {LA}}$ = LJ · $\scriptstyle {\sqrt {LB}}$

Bringt man nun die drei Glieder im vorliegenden Beispiele unter gleiche Benennung, so erhält man zunächst den Ausdruck:

$\scriptstyle SJ^{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\left[6LS+3LA-LB\right]{\sqrt {LB}}-\left[6LS+3LB-LA\right]{\sqrt {LA}}}{3{\sqrt {2}}{\sqrt {LA\cdot LB}}}}$ $\scriptstyle ={\frac {SJ^{\frac {3}{2}}}{3LJ}}\cdot {\frac {(4LS+4LA){\sqrt {LB}}-(4LS+4LB){\sqrt {LA}}}{\sqrt {2}}}$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 589. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/597&oldid=- (Version vom 1.8.2018)