die Summen der Theile immer als Summen der Parallelogramme anzusehen. Mithin stehen diese Summen, bei unendlicher Vermehrung der Anzahl und unendlicher Verminderung der Grösse der Parallelogramme in demselben Verhältniss wie die Parallelogramme, d. h. nach der Voraussetzung, in dem letzten Verhältniss des einen Theils zum andern.
§. 5. Lehnsatz. Alle einander correspondirenden Seiten ähnlicher Figuren sind proportional, sowohl die krumm- als die gradlinigen, und ihr Flächeninhalt verhält sich wie die Quadrate der Seiten.
Fig. 9.
§. 6. Lehnsatz. Wird ein der Lage nach gegebener Bogen ACB durch die Sehne AB unterspannt, und in irgend einem Punkte A, in der Mitte der continuirlichen Krümmung durch die gerade Linie AD berührt; nähern sich hierauf die Punkte A und B einander und treffen sie endlich zusammen: so wird der Winkel BAD, welchen Sehne und Tangente mit einander bilden, in’s Unendliche vermindert und verschwindet zuletzt.
Verschwände der Winkel nicht, so würde der Bogen ACB mit der Tangente AD einen Winkel einschliessen, welcher einem geradlinigen gleich wäre und es würde die Krümmung im Punkte A nicht stetig sein, was gegen die Voraussetzung ist. Oder auch: Verlängert man AB bis b und AD bis d, so muss, wenn A und B zusammenfallen, und kein Theil AB von Ab mehr innerhalb der Curve liegt, die gerade Linie Ab entweder mit der Tangente Ad zusammenfallen, oder zwischen der Tangente und der Curve gezogen werden. Der letzte Fall ist gegen die Natur der Krümmung, daher findet der erstere statt. W. z. b. w.
§. 7. Lehnsatz. Bei denselben Voraussetzungen ist das letzte Verhältniss des Bogens, der Sehne und der Tangente zu einander das der Gleichheit.
Wir verlängern, während B sich A nähert, AB und AD bis nach b und d, und ziehen
und es sei stets Bogen
Fallen nun die Punkte A und B zusammen, so verschwindet nach §. 6. der Winkel dAb; folglich fallen die geraden Linien Ab, Ad und der zwischenliegende Bogen Acb zusammen und sind daher einander gleich. Daher werden auch die denselben proportionalen, geraden Linien AB, AD und der Bogen ACB, verschwinden und als letztes Verhältniss das der Gleichheit haben. W. z. b. w.
Fig. 10.
Zusatz 1. Zieht man
und schneidet BF die beliebige Linie AF in F, so hat BF zum verschwindenden Bogen AB zuletzt das Verhältniss der Gleichheit.
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 48. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/56&oldid=- (Version vom 1.8.2018)
