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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Zusatz 2. Man kann, hiernach auch, mittelst der Erscheinungen, die Bahn des Mondes viel genauer als bisher bestimmen.

§. 32. Aufgabe. Man soll die Durchmesser der Bahn bestimmen, in welcher der Mond sich bewegen muss; vorausgesetzt, dass sie keine Excentricität habe.

Fig. 192.

Die Krümmung der Curve, welche ein beweglicher Körper beschreiben würde, wenn eine Kraft ihn stets nach einer auf erstere perpendikulären Linie anzöge, steht im directen Verhältniss der Anziehung und im indirecten Verhältniss des Quadrats der Geschwindigkeit.^[1] Ich setze voraus, dass die Krümmungen der Curve unter einander im letzten Verhältniss der Sinusse oder Tangenten der Berührungswinkel stehen, welche gleichen Radien angehören, im Fall die letzteren unendlich klein werden.

Die Anziehung des Mondes gegen die Erde in den Syzygien ist der Ueberschuss seiner Schwere gegen diese über die Kraft der Sonne = 2PK, welche letztere der Unterschied der Schwere des Mondes und der Erde gegen die Sonne ist. In den Quadraturen ist jene Anziehung gleich der Summe der Schwere des Mondes gegen die Erde und der gegen die Erde gerichteten Sonnenkraft. Setzt man nun $\scriptstyle {\frac {AC+CT}{2}}$ = N, so werden diese Anziehungen sehr nahe proportional $\scriptstyle {\frac {178725}{AT^{2}}}-{\frac {2000}{CT\cdot N}}$ und $\scriptstyle {\frac {178725}{CT^{2}}}+{\frac {1000}{AT\cdot N}}$ oder auch

1. 178725 CT² · N – 2000 · AT² · CT und 178725AT² · N + 1000CT² · AT.^[2]

Wird nämlich die beschleunigende Schwerkraft des Mondes gegen die Erde durch die Zahl 178725 dargestellt, so ist die mittlere Kraft ML, welche in den Quadraturen = PT oder = TK und den Mond gegen die Erde zieht, gleich 1000, und die mittlere Kraft TM in den Syzygien = 3000. Subtrahirt man von der letzteren die mittlere Kraft ML, so bleibt 2000 übrig, womit der Mond sich in den Syzygien von der Erde entfernt und welche ich oben 2 · PK genannt habe.

↑ [630]
Fig. 258.
No. 245. S. 420. Setzt man die Geschwindigkeit a'c' = v, den Radius des osculirenden Kreises a'd = r und die Anziehung b'c' = k; so ist offenbar sehr nahe 2kr = v² und $\scriptstyle {\frac {1}{r}}={\frac {2k}{v^{2}}}$ , und $\scriptstyle {\frac {1}{r}}$ offenbar der Krümmung proportional. Für ab = a'b' oder ac = a'c' und beide unendlich klein, kann man bc = sin bac oder = tang bac und b'c' = sin b'a'c' oder = tang b'a'c' setzen.
↑ [630] No. 246. S. 420. In der Entfernung N ist die Schwere des Mondes gegen die Erde = 178725, mithin in der Entfernung AT = $\scriptstyle {\frac {178725\cdot N^{2}}{AT^{2}}}$ . Die Kraft der Sonne wirkt in den Syzygien derjenigen der Erde entgegen und ist im Abstande N von der Erde = 2000; daher im Abstande AT = $\scriptstyle {\frac {2000\cdot AT}{N}}$ . Mithin wird die ganze erziehende Kraft proportional $\scriptstyle {\frac {178725\cdot N^{2}}{AT^{2}}}-{\frac {2000\cdot AT}{N}}$ oder auch, indem man durch N² dividirt, proportional $\scriptstyle {\frac {178725}{AT^{2}}}-{\frac {2000\cdot AT}{N\cdot N^{2}}}$ . Weil aber sehr nahe AT = CT, wird $\scriptstyle {\frac {AT+CT}{2}}=N={\sqrt {AT\cdot CT}}$ und $\scriptstyle {\frac {AT}{N\cdot N^{2}}}={\frac {AT}{N\cdot AT\cdot CT}}={\frac {1}{N\cdot CT}}$ ; mithin obige Kraft sehr nahe proportional $\scriptstyle {\frac {178725}{AT^{2}}}-{\frac {2000}{CT\cdot N}}$ ; oder 178725CT² · N – 2000AT² · CT. Aehnlich für die Quadraturen.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 420. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/428&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [630]
Fig. 258.
No. 245. S. 420. Setzt man die Geschwindigkeit a'c' = v, den Radius des osculirenden Kreises a'd = r und die Anziehung b'c' = k; so ist offenbar sehr nahe 2kr = v² und $\scriptstyle {\frac {1}{r}}={\frac {2k}{v^{2}}}$ , und $\scriptstyle {\frac {1}{r}}$ offenbar der Krümmung proportional. Für ab = a'b' oder ac = a'c' und beide unendlich klein, kann man bc = sin bac oder = tang bac und b'c' = sin b'a'c' oder = tang b'a'c' setzen.

[2] [630] No. 246. S. 420. In der Entfernung N ist die Schwere des Mondes gegen die Erde = 178725, mithin in der Entfernung AT = $\scriptstyle {\frac {178725\cdot N^{2}}{AT^{2}}}$ . Die Kraft der Sonne wirkt in den Syzygien derjenigen der Erde entgegen und ist im Abstande N von der Erde = 2000; daher im Abstande AT = $\scriptstyle {\frac {2000\cdot AT}{N}}$ . Mithin wird die ganze erziehende Kraft proportional $\scriptstyle {\frac {178725\cdot N^{2}}{AT^{2}}}-{\frac {2000\cdot AT}{N}}$ oder auch, indem man durch N² dividirt, proportional $\scriptstyle {\frac {178725}{AT^{2}}}-{\frac {2000\cdot AT}{N\cdot N^{2}}}$ . Weil aber sehr nahe AT = CT, wird $\scriptstyle {\frac {AT+CT}{2}}=N={\sqrt {AT\cdot CT}}$ und $\scriptstyle {\frac {AT}{N\cdot N^{2}}}={\frac {AT}{N\cdot AT\cdot CT}}={\frac {1}{N\cdot CT}}$ ; mithin obige Kraft sehr nahe proportional $\scriptstyle {\frac {178725}{AT^{2}}}-{\frac {2000}{CT\cdot N}}$ ; oder 178725CT² · N – 2000AT² · CT. Aehnlich für die Quadraturen.

[1]

[2]