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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

so verhält sich die ganze Kraft, durch welche der Körper gegen die Kugel gezogen wird, wie die Fläche ABNA.

§. 126. Aufgabe. Unter Voraussetzung der vorhergehenden Bedingungen, soll der Flächeninhalt von ABNA bestimmt werden.

Man ziehe vom Punkt P an die Kugel die Tangente PH, und fälle von H das Perpendikel HJ auf die Axe AB. Hierauf halbire man PJ in L; alsdann ist

1. PE² = PS² + SE² + 2 PS · SD.

Da ferner

Δ SPH ∼ SHJ,

so ist

2. SE² = SH² = PS · JS,

also nach 1. und 2.

PE² = PS² + PS · JS + 2 PS · SD = PS [PS + JS + 2 SD] = PS [PL + LJ + JS + JS + 2 · SD]

oder weil

PL = JL und PL + JS = LJ + JS = LS PE² = PS [2 · LS + 2 · SD] 3. PE² = PS · 2LD.

Ferner ist

DE² = SE² — SD² = SE² — LD² + 2 LD · LS — LS²,

oder da

LS² — SE² = LS² — SB² = LB · LA 4. DE² = 2LD · LS — LD² — LB · LA.

Hiernach wird die Grösse

\scriptstyle {\frac {DE^{2}\cdot PS}{PE\cdot V}}

,

welche nach §. 125., Zusatz 4. der Ordinate DN proportional ist,

\scriptstyle ={\frac {2\cdot LD\cdot LS\cdot PS}{PE\cdot V}}-{\frac {LD^{2}\cdot PS}{PE\cdot V}}-{\frac {LB\cdot LA\cdot PS}{PE\cdot V}}

Schreibt man statt V das umgekehrte Verhältniss der Centripetalkraft, und statt PE (nach 3.) die mittlere Proportionale zwischen PS und 2LD; so gehen diese drei Theile in die Ordinate eben so vieler Curven über, deren Flächeninhalt nach den bekannten Methoden gefunden wird.

Erstes Beispiel. Verhält sich die nach den einzelnen Theilen der Kugel gerichtete Centripetalkraft umgekehrt wie der Abstand, so setze man

V = PE und PE² = 2PS · LD,

und es wird DN proportional

\scriptstyle {\frac {2\cdot LD\cdot LS\cdot PS}{2\ PS\cdot LD}}-{\frac {LD^{2}\cdot PS}{2\ PS\cdot LD}}-{\frac {LB\cdot LA\cdot PS}{2\ PS\cdot LD}}

= LS — ½LD -

\scriptstyle {\frac {AL\cdot BL}{2LD}}

.

Man setze DN gleich dem doppelten Werthe dieses Ausdruckes,

also

DN = 2 · LS — LD —

\scriptstyle {\frac {AL\cdot BL}{LD}}

;

alsdann beschreibt der constante Theil dieser Ordinate

2 · LS,

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 204. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/212&oldid=- (Version vom 1.8.2018)