Zusatz 1. Hiernach können auch die Zeiten der schwingenden, fallenden und sich herumdrehenden Körper mit einander verglichen werden. Setzt man nämlich den Durchmesser des Rades, durch welches die Cycloïde innerhalb der Kugel beschrieben wird, gleich dem Halbmesser der letzteren; so wird die Cycloïde eine gerade Linie, welche durch den Mittelpunkt der Kugel geht. Die Schwingung in der Cycloïde geht demnach in ein auf einander folgendes Auf- und Absteigen längs dieser geraden Linie über. Hiernach kennt man sowohl die Zeit des Herabsteigens von irgend einem Orte zum Centrum, als auch den ihr gleichen Zeitraum, innerhalb dessen bei gleichförmiger Umdrehung und in beliebigem Abstande ein Körper um den Mittelpunkt der Kugel einen Viertel-Umkreis zurücklegt. Es verhält sich nämlich diese Zeit (nach 2. Fall) zur Zeit der halben Oscillation in irgend einer Cycloïde QRS, wie
Zusatz 2. Hieraus kann man ferner noch diejenigen Resultate ableiten, welche Wren und Huygens für die gewöhnliche Cycloïde gefunden haben. Vergrössert man nämlich den Durchmesser der Kugel bis ins Unendliche, so verwandelt sich ihre sphärische Oberfläche in eine ebene, und es wirkt die Centripetalkraft längs Richtungslinien, welche auf dieser Ebene senkrecht stehen; unsere Cycloïde geht daher in die gewöhnliche über. In diesem Falle wird die Länge des cycloïdischen Bogens zwischen jener Ebene und dem beschreibenden Punkte gleich dem vierfachen Sinus versus der Hälfte des Bogens am Rade zwischen derselben Ebene und dem beschreibenden Punkte, wie Wren gefunden hat. Ferner wird ein Pendel, welches sich zwischen zwei Cycloïden dieser Art befindet, in einer congruenten Cycloïde und in gleichen Zeiten schwingen; diess hat Huygens bewiesen. Auch das Herabfallen schwerer Körper in der Zeit Einer Schwingung wird so erfolgen, wie der Letztere angegeben hat.
Die von uns bewiesenen Sätze werden aber der wahren Beschaffenheit der Erde angepasst, in so fern als Räder, welche auf den grössten Kreisen derselben fortgehen, durch die Bewegung ihrer Felgen Cycloïden ausserhalb der Kugel beschreiben; Pendel aber, welche unterhalb der Erde in Gräben und Höhlen aufgehängt werden, in Cycloïden innerhalb der Kugel schwingen müssen, damit alle Schwingungen isochronisch werden. Denn die Schwere nimmt (wie im dritten Buche gezeigt werden wird) von der Oberfläche der Erde an aufwärts im doppelten Verhältniss des Abstandes vom Mittelpunkte, abwärts im einfachen Verhältniss desselben ab.
§. 94. Aufgabe. Unter der Voraussetzung, dass man Curven quadriren könne, werden die Kräfte gesucht, vermöge welcher Körper auf gegebenen Curven immer isochronisch schwingen.
Es schwinge der Körper T auf der beliebigen Curve STRQ, deren
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 162. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/170&oldid=- (Version vom 1.8.2018)
