wobei
Funktionen von
sind.
Die Forderung (4) verlangt: Für
.
Wenn man zu Polarkoordinaten gemäß
übergeht, lautet dasselbe Linienelement:
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Indessen ist das Volumenelement in Polarkoordinaten gleich
, die Funktionaldeterminante der alten noch den neuen Koordinaten
ist von 1 verschieden; es würden also die Feldgleichungen nicht in unveränderter Form bestehen, wenn man mit diesen Polarkoordinaten rechnete, und man würde eine umständliche Transformation ausführen müssen. Ein einfacher Kunstgriff gestattet jedoch, diese Schwierigkeit zu umgehen. Man setze
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Dann gilt für das Volumenelement:
. Die neuen Variablen sind also Polarkoordinaten von der Determinante 1. Sie haben die offenbaren Vorzüge von Polarkoordinaten für die Behandlung des Problems, und zugleich bleiben für sie, wenn man noch
hinzunimmt, die Feldgleichungen und die Determinantengleichung in unveränderter Form erhalten.
In den neuen Polarkoordinaten lautet das Linienelement
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wofür wir schreiben wollen
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Dann sind
drei Funktionen von
, welche folgende Bedingungen zu erfüllen haben
- Für
![{\displaystyle x_{1}=\infty :\ f_{1}={\frac {1}{r^{4}}}=(3x_{1})^{-{\frac {4}{3}}},\ f_{2}=f_{3}=r^{2}=(3x_{1})^{\frac {2}{3}},\ x_{4}=1.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c78ed1cdbf5e40c8008a4aa16b95362d0053596)
- Die Determinantengleichung:
![{\displaystyle f_{1}\cdot f_{2}\cdot f_{3}\cdot f_{4}=1.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f47ac2db6ad82b7050e9ab6b5a6dd49a8a8649f)
- Die Feldgleichungen.
- Die
stetig, außer für ![{\displaystyle x_{1}=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d96e23373c06aa509244003e393e50655f667c)
§ 4. Um die Feldgleichungen aufstellen zu können, muß man zunächst die dem Linienelement (9) entsprechenden Komponenten des Gravitationsfeldes bilden. Es geschieht dies am einfachsten, indem